Fórum de Matemática
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\(\lim _{x\rightarrow 4}\frac{\sqrt{12-3x}}{x^{2}-16}=\, \frac{0}{0}\, \lim _{x\rightarrow 4}\frac{12-3x}{\left ( x^{2}-16 \right )\sqrt{12-3x}}=\lim _{x\rightarrow 4}\frac{-3\left ( x-4 \right )}{\left ( x-4 \right )\left ( x+4 \right )\sqrt{12-3x}}=\lim _{x\rightarrow 4}\frac{-3}{\left ( x+4 \right )\sqrt{12-3x}}=\frac{-3}{0^{+}}=-\infty\)

Porque é que, no antepenúltimo passo da resolução do limite, o denominador tende para zero, por valores maiores do que zero, ou seja, porque é que no denominador o zero é afetado pelo sinal + (\(\frac{-3}{0^{+}}\))

Alguém tem alguma sugestão?

Pegando no denominador da última expressão: \((x+4)\sqrt{12-3x}\)

--> Quando x=4 o denominador é 0

--> Quando x tende para \(4^-\), \((x+4)>0\), ou seja, será sempre positivo.

--> Como estamos a considerar o conjunto dos números reais então \(12-3x\geq 0\Leftrightarrow x\leq 4\). Como x tende para \(4^-\) a raiz é real e é sempre positiva.

Positivo X Positivo = Positivo

CONCLUSÂO: Deste modo quando x tende para \(4^-\) o denominador se aproximará de 0 por valores positivos.

O domínio de \(\frac{\sqrt{12-3x}}{x^{2}-16}\) é igual a \(D=\left \{ x\in \mathbb{R}:\, x^{2}-16\neq 0\, \wedge \, 12-3x\geqslant0 \right \}= ]-\infty ,4[\, \setminus \left \{ -4 \right \}\)

Podemos então afirmar que x tem necessariamente de tender para valores à esquerda de 4 \(\left ( 4^{-} \right )\) porque à direita os valores não estão definidos, visto o domínio da função ser um intervalo aberto em 4?

x tem necessariamente de tender para valores à esquerda de 4 \(\left ( 4^{-} \right )\) caso se queira obter uma solução real.
Existe também limite por valores à direita de 4. Mas esses valores não são reais mas sim complexos.

pedrodaniel, agradeço imenso a sua resposta. Deixe-me só corrigir a mensagem anterior; a segunda expressão no domínio é 12-3x ≥ 0, por qualquer razão o sinal ≥ não foi reconhecido.