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| Aplicação de um limite notável - Exame 2003 - Prova para militares https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=7&t=7948 |
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| Autor: | TelmaG [ 06 fev 2015, 18:30 ] |
| Título da Pergunta: | Aplicação de um limite notável - Exame 2003 - Prova para militares [resolvida] |
Olá a todos, gostava que alguém confirmasse se o cálculo que fiz para determinar o limite está correto, uma vez que não consigo encontrar a resolução deste exame, e em particular deste exercício. \((1)\text{ }\lim _{x\rightarrow +\infty }\left ( \ln \left ( x+\frac{1}{x} \right )-\ln x \right )\) \((2)\text{ }=\lim _{x\rightarrow +\infty }\, \ln \left ( \frac{x^{2}+1}{\frac{x}{x}} \right )\) \((3)\text{ }=\lim _{x\rightarrow +\infty }\, \ln \left ( \frac{x^{2}+1}{x^{2}} \right )\) \((4)\text{ }=\lim _{x\rightarrow +\infty }\, \ln \left ( 1+\frac{1}{x^{2}} \right )\) \((5)\text{ }=\lim _{x\rightarrow +\infty }\left [ \frac{\ln \left ( 1+\frac{1}{x^{2}} \right )\times \frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}} \right ]\) \((6)\text{ }=\lim _{y\rightarrow 0}\left [ \frac{\ln \left ( 1+y \right )\times y}{y} \right ]\) \((7)\text{ }=\lim _{x\rightarrow 0}\, \frac{\ln \left ( 1+y \right )}{y}\times \lim _{y\rightarrow 0}\, {y}= {1} \times {0}={0}\) Agradeço desde já a disponibilidade! (editado, e numerado, por Fraol para melhorar a visualização). |
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| Autor: | Fraol [ 06 fev 2015, 23:13 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Aplicação de um limite notável - Exame 2003 - Prova para militares |
Boa noite, Você poderia ir até o passo (4) e depois concluir que o limite é 0, ln(1), há que no limite \(\frac{1}{x^2}\) vai para 0 na expressão. |
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| Autor: | pedrodaniel10 [ 06 fev 2015, 23:50 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Aplicação de um limite notável - Exame 2003 - Prova para militares |
Olá, estive a ver esse tal exame e encontrei lá essa questão. Para a aplicação desse limite notável, a resolução está correctíssima. Mas havia outro limite notável que facilitaria mais as contas. \(\lim _{x\rightarrow +\infty }\left ( \ln \left ( x+\frac{1}{x} \right )-\ln x \right )= =\lim _{x\rightarrow +\infty }\left ( \frac{\left (\ln \left ( x+\frac{1}{x} \right )-\ln x \right )x}{x} \right )= =\lim _{x\rightarrow +\infty }\left ( \frac{\ln(x+0)}{x}-\frac{\ln x}{x} \right ) \times \lim _{x\rightarrow +\infty }x=0 \times \infty=0\) Como lá não dizia necessariamente para aplicar qualquer limite notável, a resolução mais rápida seria: \(\lim _{x\rightarrow +\infty }\left ( \ln \left ( x+\frac{1}{x} \right )-\ln x \right )=\lim _{x\rightarrow +\infty }\left ( \ln \left ( \frac{x}{x} \right ) \right )=\lim _{x\rightarrow +\infty } \left ( \ln (1) \right )=0\) |
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| Autor: | jorge97 [ 15 fev 2015, 16:50 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Aplicação de um limite notável - Exame 2003 - Prova para militares |
A meu ver é mais simples desta maneira. Cumprimentos \(lim _{x\to -\infty}\ln (x+\frac{1}{x})-\ln x = lim_{x\to -\infty}\ln(\frac{x^{2}+1}{x})-\ln x = lim_{x\to -\infty}\ln\(\frac{x^{2}+1}{x^{2}}) = \ln(lim_{x\to -\infty}(\frac{x^{2}+1}{x^{2}}))= \ln(lim_{x\to -\infty}(\frac{x^2}{x^2}))= \ln(1)=0\) |
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