Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Eu sei que:
\(\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2^{h}-1}{h}=\ln 2\)
Mas a questão é como chegar à esse resultado.

_________________
\(\begin{bmatrix}
\Upsilon & o & \int & h & \mathbb{I} & o\\
\infty & \prod & o & \mathbb{R} & i & \infty
\end{bmatrix}\)

Fazendo uso do limite notável:
\(\lim_{t\to 0}\frac{e^t-1}{t}=1\)

Assim,

\(\lim_{h\to 0}\frac{2^h-1}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{\left(e^{\ln 2}\right)^h-1}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{e^{h\ln 2}-1}{h\ln 2}\cdot \ln 2{*\atop = }\left(\lim_{t\to 0}\frac{e^t-1}{t}\right)\cdot\ln 2=\ln 2\)

* Fazendo \(t=h\ln2\)

PS- Também dá usando a regra de L'Hôpital (ou de Cauchy) embora haja o risco de ser um argumento circular.

Se eu não tivesse entendido, diria que você tirou um coelho da cartola.
Obrigadão

_________________
\(\begin{bmatrix}
\Upsilon & o & \int & h & \mathbb{I} & o\\
\infty & \prod & o & \mathbb{R} & i & \infty
\end{bmatrix}\)