\(\sin(k\pi)=0, \: \forall k\in \mathbb{Z}\)

Como o gráfico é continuo em R, o limite será sempre 0.

Seria -1 caso por exemplo fosse \(\lim_{x\rightarrow -\frac{\pi}{2} }\left (\sin(x) \right )=-1\)

Pedro, estás a esquecer que do denominador da fração no limite: \(\lim_{x\to \pi}\frac{\sin x}{x-\pi}\). O numerador tende para zero (de facto) mas também tende para zero o denominador.

Para resolver o limite recorrendo a limites fundamentais é só fazer a mudança de variável \(t=x-\pi\). Assim, \(\lim_{x\to \pi}\frac{\sin x}{x-\pi}=\lim_{t\to 0}\frac{\sin (t+\pi)}{t}=\lim_{t\to 0}\frac{-\sin t}{t}=-1\).