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| O limite de duas variáveis existe? Quanto vale? https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=7&t=8356 |
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| Autor: | Estudioso [ 30 mar 2015, 22:22 ] |
| Título da Pergunta: | O limite de duas variáveis existe? Quanto vale? |
Boa noite amigos! Ache \(\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\,\frac{3x^2y}{x^2+y^2}\) se existir. Bom, estou a resolver pelo teste dos caminhos. Primeiro fiz ao longo da curva y = x³ (Resultado: 0) Depois fiz ao longo da reta x = -y (Resultado: 0) Por último fiz ao longo da curva x = y² (Resultado: 0) Pelos resultados obtidos estou suspeitando que o limite existe e é igual a zero. Até encontrei uma solução na internet mostrando que de fato o limite existe e é igual a 0. Na resolução eles estão usando o épsilon e delta. Minha dúvida: É possível generalizar o meu resultado em algo que seja padrão para tentar fugir do épsilon e delta que é muito complicado? Obrigado |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 31 mar 2015, 01:07 ] |
| Título da Pergunta: | Re: O limite de duas variáveis existe? Quanto vale? |
Uma maneira de fugir ao raciocínio por épsilon e delta é majorar a função por outra que sabe que tende para zero: \(\left|\frac{3x^2y}{x^2+y^2}\right|=3\left|\frac{x^2}{x^2+y^2}\right||y|\leq 3|y|\), como \(\lim_{(x,y)\to (0,0)}|y|=0\) então \(\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{3x^2y}{x^2+y^2}=0\) |
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