Fórum de Matemática
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Seja \(f(x,y)=\left\{\begin{matrix} \frac{3x^2y}{x^2+y^2}\,\,\,se\,(x,y)\neq 0 \\ \\ 0\,\,se\,(x,y)=(0,0) & \end{matrix}\right.\)

Gostaria de saber se estou pensando corretamente.

1°) A função f(x,y) é contínua em todo o seu domínio por se tratar de uma função racional.

2°) Apesar do denominador de uma função racional ser diferente de zero, a função está definida para o ponto (0,0).

3°) Para, de fato, dizer que a função é contínua em todo o domínio devo mostrar que o limite da f(x,y) existe. Para isso tomei alguns caminhos: i) Ao longo da curva y = x² (Existe e é igual a 0); ao longo da reta y = -x (Existe e é igual a 0); ao longo da curva x = y² (Existe e é igual a 0). Com isso constato que o limite existe e é igual a zero.

Logo, a função é contínua em todo o \(\mathbb{R}^{2}\).

Agradeço

Parece-me que adota uma abordagem pouco coerente e complexa

Lembre-se que uma função racional \(\frac{P(X)}{Q(x)}\) pode ter descontinuidades quando \(Q(x)=0\)

Eu faria:

1) A função está definida por "regiões", a primeira sendo \((x,y) \in \R^2 : (x,y)\neq (0,0)\) e a segunda sendo apenas um ponto \((x,y)=(0,0)\)

2) Na primeira região a função é racional, pois o denominador nunca é zero, logo é contínua.

3) Na segunda "região", que é apenas um ponto, aplica-se a definição do limite: se uma função tem limite num ponto, é contínua nesse ponto.

Os limites através de curvas, ou quaisquer caminhos, não demonstram de forma geral a continuidade num ponto em \(\R^2\), apenas demonstram a não continuidade, caso o valor não dê uma constante (neste caso igual a zero, pois \(f(0,0)=0\)).

Para demonstrar que tem limite, tem de usar sempre a definição formal.
Tem aqui alguns exemplos:
viewtopic.php?f=7&t=1128
viewtopic.php?f=7&t=6621
viewtopic.php?f=7&t=6258

4) Se a função é contínua nas duas "regiões" ou partes, então é contínua em todo o seu domínio.

qualquer dúvida diga

_________________
João Pimentel Ferreira
 
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Bom dia,

Existem vários problemas na sua resolução. Os seus pontos 1 e 2 apenas garantem que a função é contínua para \((x,y)\ne (0,0)\), e não em todo o seu domínio, que é \(\mathbb{R}^2\). Além disso, o facto de os limites direccionais, segundo parábolas e outros serem todos iguais não é garantia que o limite existe. De todos os limites que calculou, a conclusão deverá ser apenas: "Se o limite existir será zero".

Faltou por isso mostrar que o limite em (0,0) é realmente f(0,0)=0. Para isso pode majorar a função por outra que garantidamente tenda para zero. Neste caso,

\(\left| \frac{3x^2 y}{x^2+y^2} \right| \leq 3 |y|.\)

Bom dia amigos!

Não respondi antes porque não aparecia para mim o ícone de responder. Não sei porque isso acontece, mas fiquei 01 dia sem poder responder questão alguma no fórum.

João Ferreira, achei muito interessante sua argumentação (bem fundamentada e muito coerente). Está me faltando isso: escrever com rigor..

Sobolev, me ficou uma dúvida:

Eu sempre devo testar os caminhos? E, se caso, suspeitar que o limite existe, tentar majorá-la?

Uma outra dúvida: O meu professor não explicou esse processo de majoração da função.. Então, estou ceguinho! Tem como dar algumas dicas por favor?

Obrigado aos dois

Boa tarde,

É sempre bom testar alguns caminhos. Se os limites segundo esses caminhos forem distintos, vemos logo que o limite não existe. Se os limites segundo os caminhos testados forem iguais, apesar de não provar que o limite existe, ficamos com o candidato a limite. Relativamente à majoração, o resultado é o seguinte: Se as funções reais h,f,g verificarem

\(h(\vec{x}) \leq f(\vec{x}) \leq g(\vec{x})\)

numa vizinhança de \(\vec{a} \in \mathbb{R}^n\) e \(\lim_{\vec{x}\to \vec{a}} h(\vec{x}) = \lim_{\vec{x}\to \vec{a}} g(\vec{x}) = b\) então

\(\lim_{\vec{x}\to \vec{a}} f(\vec{x}) = b\)

Em particular, como \(\lim_{\vec{x}\to \vec{a}}f(\vec{x}) = b \Leftrightarrow \lim_{\vec{x}\to \vec{a}}| f(\vec{x})-b| = 0\), podemos dizer que se \(|f(\vec{x})-b| \leq g(\vec{x})\) e a função g tender para zero (quando x tende para a ) então o limite de f é b. A ideia é naturalmente que o limite da função g seja de cálculo imediato (sem indeterminação). A forma de obter a majoração costuma tomar diversas formas standard nos exercícios pelo que a prática há-de guiá-lo! No exemplo anterior, como o candidato a limite é zero, fomos majorar

\(|\frac{3x^2 y}{x^2+y^2} - 0|= \frac{3 x^2 |y|}{x^2+y^2} \leq \frac{3(x^2+y^2) |y|}{x^2+y^2} = 3 |y|\)

Ora, como a função 3|y| tende para zero quando (x,y) tende para (0,0), provamos que o limite é de facto zero.