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| Limite de (tg x - x)/(x - sen x) https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=7&t=8410 |
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| Autor: | danjr5 [ 05 abr 2015, 20:45 ] |
| Título da Pergunta: | Limite de (tg x - x)/(x - sen x) |
(PUC/74) \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x - \sin x}\) é igual a: a) \(0\) b) \(2\) c) \(3\) d) \(1\) e) \(4\) |
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| Autor: | pedrodaniel10 [ 06 abr 2015, 01:46 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Limite de (tg x - x)/(x - sen x) |
Como vai dar indeterminação 0/0, aplicaremos a regra de Cauchy que é derivando o numerador e o denominador: \(\lim_{x \to 0} \left (\frac{\tan x - x}{x - \sin x} \right )=\lim_{x \to 0} \left (\frac{\sec^2 x - 1}{1 - \cos x} \right )\) \(\sec^2 x =\tan^2 x +1\) \(\lim_{x \to 0} \left (\frac{\tan^2 x +1 - 1}{-(\cos x -1) } \right )=\lim_{x \to 0} \left (-\frac{\tan^2 x}{\cos x -1 } \right )\) \(\tan x =\frac{\sin x}{\cos x}\Rightarrow \tan^2 x =\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}\) \(\lim_{x \to 0} \left (-\frac{\sin^2 x}{(\cos^2 x)(\cos x -1) } \right )=\lim_{x \to 0} \left (-\frac{\frac{\sin^2 x}{\cos x -1}}{\cos^2 x } \right )\) Como \(\lim_{x \to 0} \cos^2 x = 1^2=\)\(1\), podemos simplificar a expressão onde dá indeterminação 0/0 e aplicar de novo a regra de Cauchy. \(\lim_{x \to 0} \left (-\frac{\sin^2 x}{\cos x -1} \right )=\lim_{x \to 0} \left (-\frac{2\sin x \cdot \cos x}{-\sin x} \right )=\lim_{x \to 0} \left (2\cos x \right )=2\) Resposta B) |
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