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Como resolvo essa questão? Help!!!!!

Em qualquer intervalo [a,b] \(\subset \mathbb{R}\) , a<b, prove que inf([a,b])=a e sup([a,b])=b.

Agradeço muito vocês.

Definição:
\(b=sup(A)\Leftrightarrow\)

\(1.\ \forall x\in A\ (x\leq b)\) e \(2.\ \forall c<b\ \exists x\in A\ (x>c)\)

\(1.\) é ok, \(\forall x\in [a,b]\ x<b\)

\(2.\ c<b\Rightarrow\)
\(2a.\ c<a \Rightarrow \exists a\in [a,b]\ (a>c)\)
\(2b.\ c\geq a \Rightarrow \exists m\in [a,b]=\frac{c+b}{2}\ (m>c)\)

Claramente \(b\) é uma cota superior para tal intervalo de modo que \(b \geq \sup [a,b]\) . Mostramos agora que qualquer número menor que b não é cota superior ...Ora , dado \(c < b [\tex] , afirmamos que existe [tex] d \in [a,b] [\tex] tal que [tex] d > c\) , a saber \(d=b\) satisfaz o que requeremos ... Mutatis Mutandis p o outro caso ..

Olá..
Vocês podem verificar se está correto?

I) Inf([a,b])=a
Claramente a é uma cota inferior do intervalo [a,b].
Mostramos agora que qualquer número > que a não é cota inferior de [a,b]. Dado a<c.
Se c>b, então para todo x \(\in\) [a,b], x<c
Se c\(\leq\)b, então tomamos x=\(\frac{a+c}{2}\in\) [a,b]
Temos que a<x<c.

II) Sup([a,b])=b
Claramente b é uma cota superior para o intervalo [a,b]. Mostramos agora que qualquer número menor que b não é cota superior.
Dados c<b
Se c<a, então para todo x\(\in\)[a,b],x>c
Se c\(\geq\), então tomamos x=\(\frac{b+c}{2}\in\) [a,b].

Temos que c<x<b.


Valeu!!!!!