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Oi pessoal, segue o exercício

Seja o conjunto \(S=\left \{ r\in \mathbb{Q}/r\geq 0,r^{2}\leq 2 \right \}\), sobre o qual são feitas as seguintes afirmações:

\(I.\frac{5}{4}\in S,\frac{7}{5}\in S\)

\(II.\left \{ x\in \mathbb{R}/0\leq x\leq \sqrt{2} \right \}\cap S=\)Ø

\(III.\sqrt{2}\in S\)

Pode-se dizer, então, que é (são) verdadeira(s) apenas
A(x) I e II (minha resolução)
B( ) I e III
C( ) II e III
D( ) I
E( ) II

Minha resolução

1. Unificar as inequações do conjunto descrito por compreensão

\(0\leq r\leq \sqrt{2}\)

\(S=\left \{ r\in \mathbb{Q}/0\leq r\leq \sqrt{2} \right \}\)

Porém

\(\mathbb{Q}=\left \{ r/r=\frac{p}{q},p\in \mathbb{Z},q\in \mathbb{Z}\ast \right \}\)

\(\sqrt{2}\simeq1,41\)


\(\frac{5}{4}=1,25\) e \(\frac{7}{5}=1,4\)

Então, creio que a primeira afirmação esteja correta.

2. Se S é um conjunto de natureza racional

\(S\subset \mathbb{R}\)

Se chamarmos o conjunto do exercício de A, veremos que ele é de natureza real

\(A=\left \{ x\in \mathbb{R}/0\leq x\leq \sqrt{2} \right \}\)

O intervalo dos dois conjuntos é o mesmo.

Portanto

\(S\subset A\)

Porém

\(S\subset A,A\cap S=S\)

Portanto, creio que a segunda afirmação esteja errada.

3. Falsa, pois \(\sqrt{2}\) é um número irracional, e esse elemento não pertence ao conjunto S
\(\sqrt{2}\notin S\)

Gostaria que analisassem o exercício e minha resolução.

Obrigado.

Na verdade a alternativa correta é o item (d) . Como você já mostrou que os itens (i) é verdadeiro e (iii) é falso .Para mostrar que o item (ii) é falso , basta mostrar existe pelo menos um elemento comum a ambos conjuntos .Por exemplo , \(5/4 \in S\) .Além disso , \(5/4 \leq \sqrt{2}\) ;logo \(5/4 \in A\) .