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Como eu posso provar que para x,y e z reais positivos vale a desigualdade :

\(xyz \geq x + y + z\)


Se deve ser usado a transformação de Ravi, alguém pode me demonstrar como se chega a tal desigualdade.

onde está \(a\) e \(b\) ?

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João Pimentel Ferreira
 
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Creio que se for considerado que \(x,y,z\geq 3\) temos que ;


\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\leq 1\)

e daí temos que :

\((xy)+ (xz) + (yz)\leq xyz\)

que por rearranjo,temos que:
\(x+ y + z \leq (xy)+ (xz) + (yz)\leq xyz\)

ou utilizando a desigualdade de Padoa, vem ;

\(xyz \geq (x+y-z)+ (x+z-y)+ (y+z-x)\) com x = a+b ; y = b+c e z = a+c

temos que : \((a+b)(b+c)(a+c)\geq 2 (a+b+c)\)

porém, \(2 abc \geq a+b+c\)

contudo, \((a+b)(a+c)(b+c)\geq 8abc > 2abc\)

creio que pela transitividade, a desigualdade se verifique.