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Estou com dificuldade em simplificar e encontrar as propriedades para simplificar estas duas proposições.

p V ~ (p^q)

e

 [(p -> q)^ ~( p V q)] ^ (p V ~ p).

a primeira é uma tautologia, pois

p V ~(p.q)= p V (~p V~q)= (p V ~p ) V ~p

Note que ( p V ~p ) é sempre verdadeiro.

Logo, ( p V ~p ) V ~p é sempre verdadeiro também.

a pergunta é para simplificar as proposições usando as propriedades das proposições :/

ok, utilizei a Lei de De Morgan: ~( P. Q) = ~P V ~Q e a propriedade associativa.

então a resposta pode ser:

p V ~ (p^q)
= p V (~p V~q)
= (p V ~p ) V ~p
= ~( P. Q)
= ~P V ~Q

e a expressão fica simplificada ?

Na verdade, (p V ~p ) V ~p \(\Leftrightarrow\) (p V ~p) \(\Leftrightarrow\) V, e a expressão fica simpificada. Alternativamente, também é válido dizer que p V (~p V ~p) \(\Leftrightarrow\) p V ~p \(\Leftrightarrow\) V.