Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Segundo exercício da minha sequência de dúvidas já explicitadas.:

exercício(2).:Se A e B são raízes reais da equação \(x^2+\frac{9x^2}{x^2+6x+9}=27\), A>B,determine o valor de A-B.

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''Viva a matemática,assim a razão da vida será lógica''

Se tem

\(x^2+\frac{9x^2}{x^2+6x+9}=27\)

pode-se simplificar

\(\frac{9x^2}{x^2+6x+9}=27-x^2\)

\(9x^2=(27-x^2)(x^2+6x+9)\)

\(9x^2=27x^2+162x+243-x^4-6x^3-9x^2\)

\(-x^4-6x^3+9x^2+162x+243={0}\)

é equivalente a achar os zeros do polinómio \(P(x)=-x^4-6x^3+9x^2+162x+243\)

agora pode usar a fórmula de Vieta
http://en.wikipedia.org/wiki/Vieta%27s_formulas

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João Pimentel Ferreira
 
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Não lhe dês o peixe, ensina-o a pescar (provérbio chinês)
Fortalecemos a quem ajudamos pouco, mas prejudicamos se ajudarmos muito (pensamento budista)}

Boa noite,Breno!
Ache uma solução elegante para essa questão. Esse tipo de questão requer muita atenção e criatividade para descobrir o "truque" embutido nela.E se torna muito difícil tenta resolvê-la diretamente(usando fórmulas).Creio também que devemos usar apenas conhecimento do ensino fundamental.
Agora,peço que acompanhe meu raciocino:

A expressão \(\frac{9x^{2}}{x^{2}+6x+9}\) é um quadrado perfeito. Fatorando,obtemos :\((\frac{3x}{x+3})^{2}\).
Assim, a equação dada se reduz a:

\(x^{2}+(\frac{3x}{x+3})^{2}=27\)

Observe que o primeiro membro tem dois termo elevados ao quadrado . Então, usamos o método de completar quadrado(esse é o truque).Resultando:

\(x^{2}-2.x.\frac{3x}{x+3}+(\frac{3x}{x+3})^{2}=27-2.x.\frac{3x}{x+3}\)

Fatorando o 1º membro,Vem:

\((x-\frac{3x}{x+3})^{2}=27-\frac{6x^{2}}{x+3}\rightarrow (\frac{x^{2}}{x+3})^{2}+6.\frac{x^{2}}{x+3}=27\)

Fazendo: \(y=\frac{x^{2}}{x+3}\), e substituindo na ultima equação: \(y^{2}+6y=27\rightarrow y=-9 \vee y=3\)

Agora,é só voltar para a incógnita original(x) e obter as raízes .Espero que tenha entendido.

Abraço

Caro jomatlove

muito, muito obrigados

excelente e elegante resposta

seja sempre bem-vindo

um abraço

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João Pimentel Ferreira
 
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É impressionante como a matemática é um conjunto de ''sacadas'' para cada determinado,assunto.Por exemplo,para todo tipo de questão desse tipo é preciso que nos voltemos a completar produtos notáveis de tal forma que um polinômio de grau N se torne uma equação do segundo grau.

Visto isso é possível facilmente resolver essa questão.:
1)Determine as raízes Reais da equação.: \(x^2+\frac{x^2}{x^2+2x+1}=3\)

Por conseguinte gostaria de agradecer ao jomatlove pela sua excelente sacada,e de maneira geral a esse fórum que está sempre me ajudando quando preciso,mesmo embora não tento ajudado no fórum,pois minha rotina de estudo não me permite descanso,tenho sempre recebido a ajuda de vocês,muito obrigado.

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