Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Boa tarde,
estou tentando provar por indução a seguinte sentença e não estou conseguindo:
\(6^n{} + 4\) é divisivel por 5, para todos n \(\geq\) 1
Agradeço!

Oi, boa tarde.

Para \(n=1\) é imediato. Seja \(P(k) = {6}^{k}+4\) divisível por 5 para qualquer \(k \ge 1\) ( 0 também poderia ). Vamos verificar \(P(k+1)\):

\(P(k+1)=6^{k+1}+4 = 6\cdot6^k+4 = 6\cdot6^k + 24 - 20\)

Agora para verificar a validade basta colocar 6 em evidência e depois 5 ... quer concluir?

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Fraol
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Obrigado fraol, não entendi bem o teu raciocínio, onde surgiram os números 24 -20?
Coloquei em evidencia: 6(1.\(1^{k}\)+4) -20

Substitui o 4 ( 24-20=4).

Colocando em evidência: \(6 \cdot 6^k +24 -20 = 6(6^k + 4) -20 = 6(5m) - 5 \cdot 4\)

Obs: \((5m)\) pois \((6^k + 4)\) é divisível por 5 conforme nossa hipótese de indução.

Agora basta colocar o 5 em evidência na expressão para verificar que \(6^{k+1}+4\) também é divisível por 5.

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Fraol
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6(5m) -5 .4 = 30m - 20 = 5(6m - 4)
Isso?

Sim. É isso.

E como temos um múltiplo de 5 então o número é divisível por 5 e portanto pelo princípio da indução matemática, provou-se que ....

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Fraol
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Obrigado fraol, me deu uma grande ajuda, forte abraço!