Encontre a matriz que representa o operador D na base beta

[karenfreitas]

Seja V o espaço vetorial formado pelos polinômios de grau menor ou igual a n-1.
Seja D:V →V o operador linear que associa a cada polinômio f(x) ∊ V sua derivada f'(x).
Encontre a matriz que representa o operador D na base \(\beta \left \{ 1,x,x^2, ..., x^{n-1} \right \}\)


Nessa questão meu povo entendi só o básico mesmo, acho ele quer uma matriz (operador linear) associada a derivada desse polinômio, ou pelo menos acho que é isso...

[pedrodaniel10]

Para \(n\geq 1\):

\(f(x)=1 \Rightarrow f'(x)=0
f(x)=x \Rightarrow f'(x)=1
f(x)=x^2 \Rightarrow f'(x)=2x
.
.
.
f(x^{n-1})=x^2 \Rightarrow f'(x)=(n-1)x^{n-2}\)

Pelo que:
\(D_{\beta \rightarrow \beta }=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & . & 0\\ . & 0 & 2 & . & .\\ . & . & 0 & ... & .\\ . & . & . & . & n-1\\ 0 & 0 & 0 & . & 0 \end{bmatrix}\)

[karenfreitas]

Para \(n\geq 1\):

\(f(x)=1 \Rightarrow f'(x)=0
f(x)=x \Rightarrow f'(x)=1
f(x)=x^2 \Rightarrow f'(x)=2x
.
.
.
f(x^{n-1})=x^2 \Rightarrow f'(x)=(n-1)x^{n-2}\)

Pelo que:
\(D_{\beta \rightarrow \beta }=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & . & 0\\ . & 0 & 2 & . & .\\ . & . & 0 & ... & .\\ . & . & . & . & n-1\\ 0 & 0 & 0 & . & 0 \end{bmatrix}\)

pedrodaniel10 (te agradeço imensamente, rapaz). Só mais uma pequena dúvida, estive aqui pesquisando e só acho resoluções para polinômios de grau igual a n+1
E justamente nesse exemplo o cara mostrou como achar a imagem e o núcleo desse polinômio e assim determinar que não era sobrejetora.
Essa demonstração estou deixando em arquivo.
Se você pudesse, poderia me mostrar como fica a imagem e o núcleo para polinômios de grau menor ou igual a n-1, por exemplo?

Anexos