Relações na Teoria dos Conjuntos

[petras]

Referente a Teoria de conjuntos: um conjunto A U B = A se e somente se B estiver contido em A. Por que não posso afirmar que se B={} também sempre teremos A U B = A ?

[Sobolev]

O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto, pelo que a segunda afirmação já está prevista na primeira.

[jorgeluis]

O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto, ou seja, ele está contido em A e em B, por isso, não podemos dizer que B={ } mas sim B={ { } }

[Sobolev]

Jorge, neste caso a notação \(\{\,\}\) é adequada para descrever o conjunto vazio. A sua notação designaria um conjunto de conjuntos, constituído pelo conjunto vazio, assim \(\{\{\,\}\}\) não é um conjunto vazio ... tem um elemento!

[jorgeluis]

Sobolev,
o que eu quis dizer é que \(\phi \subset A,B\)

resumindo: todo conjunto tem pelo menos um elemento, com exceção do conjunto vazio, assim, se A U B = A, então, \(B\subset A\).
o conjunto vazio não possui uma representação alfabética (A,B,C,D,...), ele tem representação própria: { } ou \(\phi\)

[Sobolev]

Oi Jorge, eu percebi que estávamos dizendo o mesmo... apenas por uma questão pedagógica, para que quem lê o post possa receber várias informações úteis, achei por bem referir que \(\{\{ \,\}\}\) não designa o conjunto vazio. Não altera em nada a substância da resposta, é uma questão formal.

[petras]

Oi Jorge, eu percebi que estávamos dizendo o mesmo... apenas por uma questão pedagógica, para que quem lê o post possa receber várias informações úteis, achei por bem referir que \(\{\{ \,\}\}\) não designa o conjunto vazio. Não altera em nada a substância da resposta, é uma questão formal.

Quanto a questão que {{}} não há dúvida que é um conjunto unitário. Mas não ficou claro por que A U { } = A. A questão está anexa para ficar mais claro. Poderia ser mais claro.

Anexos

exercicio.jpg (6.95 KiB) Visualizado 2864 vezes

[Sobolev]

Trata-se apenas de observar a definição de reunião de dois conjuntos:
\(x \in A \cup B \Leftrightarrow (x \in A) \vee (x\in B)\)
No caso em análise

\(x \in A \cup \{ \,\} \Leftrightarrow (x \in A) \vee (x\in \{ \,\}) \Leftrightarrow
(x\in A) \vee Falso \Leftrightarrow
x \in A\)

Deste modo vê que os elementos de A são exactamente os elementos de \(A \cup \{\,\}\), pelo que os dois conjuntos são iguais.

[petras]

Ola pessoal, não consegui entender a justificativa. Coloquei em anexo o exercício original para maior esclarecimento. Poderiam ser mais claros? A dúvida refere-se a letra d) conforme já questionei antes. Concordo que resposta da letra c) é correta, mas sendo assim se fizermos B ={ } conforme letra e) teremos A U { } diferente de A.
Desde já grato

Anexos

exercicio.jpg (6.95 KiB) Visualizado 2843 vezes

[petras]

Ola pessoal, não consegui entender a justificativa. Coloquei em anexo o exercício original para maior esclarecimento. Poderiam ser mais claros? A dúvida refere-se a letra d) conforme já questionei antes. Concordo que resposta da letra c) é correta, mas sendo assim se fizermos B ={ } conforme letra e) teremos A U { } diferente de A.
Desde já grato