Função do Segundo grau - determinar se e injetora ou sobrejetora mediante condições

[davi.simões]

(lTA-89) Sejam A e B subconjuntos de IR, não vazios, possuindo B mais de um elemento. Dada uma função f: A → B, definimos L : A → A x B por L (a) = (a,f(a)) , para todo a ∊ A. Podemos afirmar que:

a) A função L sempre sera injetora.
b) A função L sempre sera sobrejetora.
c) Se f for sobrejetora, então L também o sera.
d) Se f não for injetora, então L também não o sera.
e) Se f for bijetora, então L sera sobrejetora.

[Sobolev]

A alínea c) é verdadeira. Se \(f:A \to B\) é sobrejectora então, quando percorremos todos os \(a \in A\), as imagens \(f(a) \in B\) percorrem todos os elementos de B. Assim, quando \(a \in A\), \((a,f(a))\) percorre todos os elementos possíveis de \(A\times B\).

[davi.simões]

você poderia me explicar como se exclui as outras alternativas pois entendi a sua resposta mas estou com duvida nesta parte

[Sobolev]

Eu não exclui as outras... apenas lhe dei a resposta a uma das alíneas.

Por exemplo a b) é falsa porque se f(a) não toma todos os valores de B, L(a)= (a,f(a)) não pode tomar todos os valores de \(A \times B\).

Já a alínea a) é verdadeira. \(L(a)=L(b) \Leftrightarrow (a,f(a)) = (b,f(b)) \Leftrightarrow a = b \wedge f(a)=f(b) \Leftrightarrow a=b\). Repare que o último passo é verdadeiro por f ser uma função, quando a=b temos f(a)=f(b), cada elemento de A tem uma única imagem em B.


Consegue resolver as restantes?

[davi.simões]

é porque no meu livro diz que apenas a alineá e é verdadeira por isso fiquei confuso

[Sobolev]

Boa noite,

Realmente a alinea c) é falsa... (a, f(a)) não assume necessariamente todo o conjunto de chegada, já que para cada a, deveríamos obter todo o conjunto B ao calcular f(a), o que não acontece em geral porque f é uma função.