(Desigualdade de Bernoulli) Para todo número real...

[Nil]

Boa noite, pessoal. Tudo bem?

Estou precisando de auxílio para resolver essa questão sobre Desigualdade de Bernoulli.
Não consigo resolvê-la.

Para todo número real \(x\geq -1\) e todo \(n \in \mathbb{N}\), tem-se \((1+x)^n \geq 1+nx\)

[Rui Carpentier]

Uma maneira simples de demonstrar é usando indução.
A base de indução (n=0 ou n=1) é trivialmente verificável, e assumindo a hipótese de indução (HI), \((1+x)^n\geq 1+nx\), podemos demonstrar a tese de indução (TI), \((1+x)^{n+1}\geq 1+(n+1)x\), multiplicando ambos os termos da HI por \((1+x)\) (que é, por hipótese, um real não-negativo):

\((1+x)^n\geq 1+nx \Rightarrow (1+x)^{n+1}\geq (1+x)(1+nx)=1+(n+1)x+nx^2\geq 1+(n+1)x\)

[Sobolev]

Também pode por exemplo usar a fórmula de Taylor.

Considerando \(f(x)=(1+x)^n\), sabemos que se \(x>-1\) (para existir continuidade da derivadas)

\(f(x)=f(0) + f'(0) x + \frac{f''(\xi)}{2} x^2 = {1} + nx + \frac{f''(\xi)}{2} x^2, \quad \xi \in (0,x)\)

Se calcular a segunda derivada, verá que é sempre positiva, o que justifica que \(f(x) \ ge \+ nx\), ou seja, que \((1+x)^n \ge 1 + nx\).