Prove que o conjunto (...) de números reais não é limitado superiormente.

[Caruso]

Galera. Estou com dificuldade para resolver esta questão.
Alguém pode me ajudar?
É muito bom poder contar com os amigos desse fórum (o melhor que já participei: bastante colaborativo).

Segue a questão:

Prove que o conjunto \(M=\left \{ p\sqrt{5}:p\in \mathbb{N} \right \}\subset \mathbb{R}\)
de números reais não é limitado superiormente.

[Sobolev]

Pode provar por contradição. Se suposer que o conjunto é limitado superiormente então existe um natural \(p_0\) tal que todos os elementos de M são inferiores a \(p_0 \sqrt{5}\). Mas \((p_0+1) \sqrt{5}\) é um elemento de M e \((p_0+1)\sqrt{5}>p_0 \sqrt{5}\), o que é absurdo face à hipótese inicial, que por isso não é válida.

[Caruso]

Olá, Sobolev.

Existe outra forma de se provar a não ser por contradição?

Valeu, amigo. Obrigado.

[santhiago]

Alternativamente , podemos usar o fato que \(\mathbb{N}\) é ilimitado em \(\mathbb{R}\) pelo que dado qualquer número real x podemos encontrar um número natural n satisfazendo \(n \cdot \sqrt{5} > x\) (tal prop. tbm conhecida como prop. Archimedean ) ...

[Caruso]

Sobolev e santhiago,

Está correta esta demonstração que desenvolvi?
Digam se há alguma incorreção, por favor.

Suponhamos, por absurdo, que o conjunto M\(\subset\)\(\mathbb{R}\) seja limitado superiormente. Como M\(\neq \varnothing\), existe c\(\in \mathbb{R}\), tal que C=supM. Logo c-\(\sqrt{5}\) não é cota superior de M. Consequentemente, existe x\(\in\)M tal que c-\(\sqrt{5}< x\), ou seja, c\(c<x+\sqrt{5}=\sqrt{5}+\sqrt{5}=(p+1)\sqrt{5}.\)
Absurdo, pois \(x+\sqrt{5}\in M\) e c=supM.

O que acham??????

[Caruso]

Sobolev e santhiago,

Está correta esta demonstração que desenvolvi?
Digam se há alguma incorreção, por favor.

Suponhamos, por absurdo, que o conjunto M\(\subset\)\(\mathbb{R}\) seja limitado superiormente. Como \(M\neq \varnothing\)
, existe c\(\in \mathbb{R}\), tal que C=supM. Logo c-\(\sqrt{5}\) não é cota superior de M. Consequentemente, existe x\(\in\)M tal que c-\(\sqrt{5}< x\), ou seja, c\(c<x+\sqrt{5}=\sqrt{5}+\sqrt{5}=(p+1)\sqrt{5}.\)
Absurdo, pois \(x+\sqrt{5}\in M\) e c=supM.

O que acham??????