Função real de variável real

[Carmen]

Numa localidade verificou-se que a temperatura T, em graus Celsius, entre as 8 horas e as 12 horas, é dada pelo seguinte modelo matemático
T(h)=-h³+6h²-8h+4, em que h representa o tempo, em horas, decorrido após as 8 horas. O domínio da função é [0,4].
1) Determina a temperatura ás 10h30min
2)Qual a amplitude térmica no período de tempo considerado

Sei que as respostas são 1) 5,875 graus e 2) aproximadamente 6,2 graus, mas não consigo chegar a estes valores.

Podem ajudar-me? Obrigado

[Baltuilhe]

Bom dia!

O valor de h representa quantas horas passaram de 8 horas. Então:
1) 10h30min = 10,5 horas ==> h = 10,5-8 = 2,5
\(T(2,5){=}-(2,5)^3+6(2,5)^2-8(2,5)+4{=}5,875\)

2) Amplitude térmica seria a diferença entre o menor e maior valores no intervalo. Temos, então, que encontrar os seguintes valores:
\(T(0){=}-(0)^3+6(0)^2-8(0)+4=4
T(4){=}-(4)^3+6(4)^2-8(4)+4=4\)

E, agora, encontrar os pontos críticos (derivando a função e igualando a zero):
\(T'(h)=-3h^2+12h-8=0\\\Delta=(12)^2-4(-3)(-8)=144-96=48\\h=\frac{-(12)\pm\sqrt{48}}{2(-3)}\\h=\frac{-12\pm{4\sqrt{3}}}}{-6}\\h'=\frac{-12-4\sqrt{3}}{-6}=2+\frac{2\sqrt{3}}{3}\\h''=2-\frac{2\sqrt{3}}{3}\)

Um será ponto de máximo e o outro ponto de mínimo. Calculando os valores:
\(T\left(2+\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)=-\left(2+\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)^3+6\left(2+\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)^2-8\left(2+\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)+4\approx{7,0792}
T\left(2-\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)=-\left(2-\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)^3+6\left(2-\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)^2-8\left(2-\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)+4\approx{0,9208}\)

Então, a amplitude:
\(7,0792^\circ-0,9208^\circ=6,1584^\circ\)

Espero ter ajudado!