Dúvida na resolução da inequação

[Bruno Allyson]

(FUVEST) Resolva a inequação (x/x+1) > x. -------Resposta é {XER/X< -1} . Mas a minha resposta é {XER/x<-1 ou x>0} Alguém poderia me ajudar explicando porque seria apenas x<-1 ?(Quero Calculos)

[Estanislau]

Se apresentar os seus cálculos, podemos procurar o erro.

[jorgeluis]

\(\frac{x}{x+1}> x\)
dividindo a inequação por x, temos:
\(\frac{x}{x(x+1)}> 1\)
condições necessárias:
\(x > 1 \Leftrightarrow 0 < x(x+1) < x
e,
x < -1 \Leftrightarrow 0 > x(x+1) > x
assim,
x(x+1) > 0
x > -1 (F)
e,
x(x+1) < x
x^2+x-x < 0
x < 0 (F)\)

\(x(x+1) < 0
x < -1 (V)
e,
x(x+1) > x
x^2+x-x > 0
x>0 (F)\)

[Estanislau]

jorgeluis, até crianças sabem que não se pode dividir inequações por x.

[lucasgg]

O erro provavelmente está na resolução do caso onde \(x+1 > 0\)

Perceba que para esse caso temos que \(x > x^2+x\), portanto \(x^2 < 0\), logo não existe solução para \(x\) nesse caso.

Para visualizar isso desenhe a função \(f(x) = x^2\) e perceba que \(f(x) \geq 0\) para todo \(x\)

[Estanislau]

Porque adivinhar? Se o Bruno Allyson está interessado, vai mostrar-nos os seus cálculos. Aliás, não faz sentido considerar os casos x+1 > 0 e x+1 < 0 separadamente. Basta escrever a inequação na forma F(x) > 0 e encontrar o domínio e os zeros de F, veja por exemplo
viewtopic.php?f=70&t=11328&p=30533#p30533

[petras]

x / (x+1) > x → x/(x+1) - x > 0 → [ x - ( x² + 1)] / (x+1) ] > 0 → (x - x² - x) / (x+1) > 0
-x² / (x+1) > 0
Condição x+1 ≠ 0 → x≠-1

Fazendo o estudo de sinais teremos:

- - - - - - - - - - - - - - - (0) - - - - (-x²)
- - - - - - (-1) + + + + + + + + + (x + 1)
+ + + + + (-1)- - - - - - -(0)- - - - - (-x² / (x+1) > 0)

Portanto: {x ∊ lR l x < -1}