Expressão com expoente 2016 para simplificar

[Regina Fernanda]

Sejam dados os valeres de x e de y (em anexo) Determinar o valor da expressão 4x²-3x²

Anexos

[jomatlove]

Resolução:
\(2x=(2+\sqrt{3})^{2016}\) \(+(2-\sqrt{3})^{2016}\)
Elevando os dois lados ao quadrado, e usando o produto notável, temos:
\(4x^2= (2+\sqrt{3})^{4032}+2(2+\sqrt{3})^{2016}\cdot (2-\sqrt{3})^{2016}+(2-\sqrt{3})^{4032}\)
\(4x^2=(2+\sqrt{3})^{4032}+2\left \{ (2+\sqrt{3})(2-\sqrt3) \}^{2016}+(2-\sqrt{3})\)^4032
Efetuando o produto entre chaves,obtemos 1.Então:
\(4x^2=(2+\sqrt{3})^{4032}+(2-\sqrt{3})^{^{4032}}+2\)
O calculo para y é igual,muda apenas o sinal do termo do meio que é -.Assim resulta:
\(3y^2=(2+\sqrt{3})^{4032}+(2-\sqrt{3})^{^{4032}}-2\) . (-1)
\(-3y^2=-(2+\sqrt{3})^{4032}-(2-\sqrt{3})^{4032}+2\)
Agora basta cancelar os termos opostos.
\(\therefore 4x^2-3y^2=4\)

[Regina Fernanda]

Perfeito!
Obrigada!