Trigonometria, seno, coseno e tangente

[Carmen]

Sabendo que sen\(\alpha\)cos\(\alpha\) = 0,3 e \(\alpha\) ∊ ]0º,45º[ , determine tg\(\alpha\).

Podem ajudar-me. Obrigado

[GrangerObliviate]

1) Tendo em conta que \(\sin(2 \alpha) = 2 \sin(\alpha)\cos(\alpha)\), então, \(\frac{\sin(2 \alpha)}{2} = \sin(\alpha)\cos(\alpha)\),

2) Então \(\frac{\sin(2 \alpha)}{2} = 0,3\) logo \(\sin(2 \alpha) = 0,6\)

3) Resolvendo a equação percebe-se que \(2 \alpha = \arcsin(0,6)\). Fazendo as contas chegas ao valor do teu [tex] \alpha [\tex] (que deve estar entre 0 e 45 graus, se não estiver é só adicionar ou retirar 360 graus)). Depois é só calcular a tangente!

[Sobolev]

\(\sin a \cdot \cos a {=} 0.3 \Rightarrow \sin^2 a \cdot \cos^2 a = 0.9 \Leftrightarrow \cos^2 a(1- \cos^2 a)=0.9 \Leftrightarrow \cos^2 a = \frac{1}{10} \vee \cos^2 a = \frac{9}{10}\)

Assim, como \(\tan^2 a = \frac{1}{\cos^2 a} - 1\), os valores possíveis são \(\tan^2 a = 9 \vee \tan^2 a = \frac 19\). Como \(a \in [0 45^o]\), devemos ter \(\tan^2 a = \frac 19\) (entre 0 e 1), pelo que \(\tan a = \frac 13\).