Trigonometria e Funções trigonométricas. Área de um setor
09 Oct 2016, 21:37
Considere o círculo de raio 3. Sabe-se que C é centro do círculo, [AB] é uma corda, x é a amplitude, em radianos, do ângulo ao centro correspondente ao arco AB e x ∊ ]0, ∏[. Mostre que a área da região sombreada é dada por \(\frac{9}{2}\)x - 9cos(\(\frac{x}{2}\))sen(\(\frac{x}{2}\)).
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Re: Trigonometria e Funções trigonométricas. Área de um setor [resolvida]
10 Oct 2016, 08:30
Em primeiro lugar a área do sector é dada por \(9\pi \frac{x}{2\pi} = \frac 92 x\), que corresponde ao primeiro termo na fórmula proposta. Resta mostrar que a área do triangulo [ABC] é dada por \(9 \cos \frac x2 \sin \frac x2\).
O triangulo [ABC] é um triangulo isósceles com um angulo x e os dois outros angulos com medida \(\frac{\pi -x}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac x2\). Dividindo em dois triangulos rectangulos (usando a bicetriz de AB) vê que cada um desses triangulos tem um cateto de medida \(3 \sin \frac x2\) (o que corresponde a metade de AB) e um cateto com medida \(3 \sin (\frac{\pi}{2} - \frac x2) = 3 \cos \frac x2\). Assim, área é dada por \(3 \sin \frac x2 \cos \frac x2 = 9 \cos \frac x2 \sin \frac x2\).
O triangulo [ABC] é um triangulo isósceles com um angulo x e os dois outros angulos com medida \(\frac{\pi -x}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac x2\). Dividindo em dois triangulos rectangulos (usando a bicetriz de AB) vê que cada um desses triangulos tem um cateto de medida \(3 \sin \frac x2\) (o que corresponde a metade de AB) e um cateto com medida \(3 \sin (\frac{\pi}{2} - \frac x2) = 3 \cos \frac x2\). Assim, área é dada por \(3 \sin \frac x2 \cos \frac x2 = 9 \cos \frac x2 \sin \frac x2\).