Calcular o menor valor possível de uma divisão exata onde os valores foram alterados

[Fernando Magalhães]

Certo dia, os N pacientes internados em um hospital puderam ser divididos igualmente pela equipe de 12 enfermeiros.
No dia seguinte, um dos enfermeiros adoeceu e ficou como paciente no mesmo hospital, sendo essa a única alteração
nos números de pacientes e enfermeiros.
Se novamente foi possível dividir os pacientes igualmente pelos enfermeiros restantes, então o menor valor
possível para N está no intervalo:
a) [30,49]
b) [50,69]
c) [70,89]
d) [90,109]
e) [110,129]

[Sobolev]

O número inicial de doentes é divisível por 12, isto é, \(N=12 K_1\).

O número inicial de doentes, acrescido de uma unidade é divisível por 11, top é, \(N+1 = 11 K_2\).

Deste modo vemos que \(12 K_1 = 11 K_2 -1\). Ora, esta condição é satisfeita pela primeira vez quando \(K_1=10, K_2=11\).

Assim, o menor valor possível para N é 120, portanto no intervalo [110,129].