Verificar se Espaço Vetorial Produto UxV é realmente um espaço vetorial

[Engenet]

Sejam U e V espaços vetoriais sobre os reais. Mostre que U x V = {(u, v); u pertencente a U, v pertencente a V} é um espaço vetorial em relação ao seguinte par de operações:
(u1, v1) + (u2, v2) = (u1 + u2, v1 + v2) e a(u, v) = (au, av).

O espaço vetorial U x V definido acima é denominado espaço vetorial produto de U e V.

[Ricardo Urca]

PARA ESPAÇOS VETORIAIS, VOCÊ DEVE TESTAR OS 8 AXIOMAS:
PARA ADIÇÃO:
(u + v) + w = u + ( v + w), ∀ u, v, w ∈ V
u + v = v + u, ∀ u, v ∈ V
∃ 0 ∈ V, ∀ u ∈ V, tal que u + 0 = u
∀ u ∈ V, ∃ (–u) ∈ V, u + (-u) = 0
PARA MULTIPLICAÇÃO POR UM ESCALAR, SENDO a E b NÚMEROS REAIS:
(ab) v = a(bv)
(a + b) v = av + bv
a (u + v ) = au + av
1u = u, para\((\alpha \beta )(a_1,b_1)=(\alpha \beta a_1,\alpha \beta b_1)=\alpha(\beta a_1,\beta b_1)=\alpha(\beta( a_1, b_1))=\alpha(\beta v)\)
∀ u, v ∈ V

COMO VOCÊ TEM U x V = {(u, v); u pertencente a U, v pertencente a V}, O SEU ESPAÇO VETORIAL É U x V (U CARTESIANO V), LOGO TOME TRÊS ELEMENTOS GENÉRICOS PERTENCENTES A ESSE ESPAÇO, ESTES PODEM SER \(u =(a_1,b_1)\), \(v =(a_2,b_2)\) e \(w =(a_3,b_3)\)
1) (u + v) + w = u + ( v + w), ∀ u, v, w ∈ U x V
\([(a_1,b_1)+(a_2,b_2)]+(a_3,b_3) = (a_1+a_2,b_1+b_2)+ (a_3,b_3)=(a_1+a_2+a_3,b_1+b_2+b_3)=(a_1,b_1)+(a_2+a_3,b_2+b_3)=(a_1,b_1)+[(a_2,b_2)+(a_3,b_3)]\)
(AGORA QUE VOCÊ TEM A IDEIA ACHO QUE DÁ PARA FAZER O RESTO SOZINHO, POIS A RESPOSTA FICARÁ GRANDE DEMAIS, MAS PELO QUE VEJO É UM ESPAÇO VETORIAL, POIS A SOMA E MILTIPLICAÇÃO ESTÃO BEM DEFINIDAS, É SÓ PROVAR O RESTANTE DAS PROPRIEDADES, AS 8 NO TOTAL, QUALQUER DUVIDA ENTRE EM CONTATO).