Proposição: conceitos exemplos, contraexemplos, recíproca, hipótese, tése

[Ricardene]

Pessoal, gostaria que alguém verificasse minhas respostas de mais um exercício:

No caso, minhas respostas foram:

a) resposta:

X³+x-1<0 é a hipótese e x<-1 é a tese.

b) resposta:

Não, pois x=-1 não satisfaz a tese, uma vez que, -1=-1.

x=-1 satisfaz a hipótese, uma vez que:

(-1³)-1-1=-3<0

logo, x=-1 é um contraexemplo.

c) resposta:

Sim, pois x=0 satisfaz a hipótese, uma vez que: 0³+0-1 = -1<0 e x=0 não satisfaz a tese, uma vez que 0>-1.

d) resposta:

Não, x=1 não satisfaz nem a hipótese e nem a tese:
1³+1-1=1>0.

e) resposta:

Não, pois x=1 não satisfaz a tese, uma vez que 1>-1.

f) resposta:

Falsa. Contraexemplo.
x=0 satisfaz a hipótese, pois, 0³+0-1 = -1<0 e não satisfaz a tese já que 0>-1.

g) resposta:

Não consegui encontrar um contra exemplo. Ela seria verdadeira?

Anexos

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[Rui Carpentier]

As respostas às questões a), b), c), d) e f) estão corretas. Na questão g) a recíproca da proposição é "se x<-1, então x^3+x-1<0" e é verdadeira (há várias maneiras de demonstrar tal: mostrando que x^3+x-1 é crescente ou então \(x<-1 \Rightarrow x+1<0 \Rightarrow x^2(x+1)<0 \Rightarrow x^3+x-1<-1 \Rightarrow x^3+x-1<0\)). Na questão e) não estou seguro que a sua resposta esteja certa. É verdade que a tese não é verificada, mas a hipótese também não é verificada pelo que a proposição (que é uma implicação) é verdadeira para x=1.

[Ricardene]

As respostas às questões a), b), c), d) e f) estão corretas. Na questão g) a recíproca da proposição é "se x<-1, então x^3+x-1<0" e é verdadeira (há várias maneiras de demonstrar tal: mostrando que x^3+x-1 é crescente ou então \(x<-1 \Rightarrow x+1<0 \Rightarrow x^2(x+1)<0 \Rightarrow x^3+x-1<-1 \Rightarrow x^3+x-1<0\)). Na questão e) não estou seguro que a sua resposta esteja certa. É verdade que a tese não é verificada, mas a hipótese também não é verificada pelo que a proposição (que é uma implicação) é verdadeira para x=1.

Verdade!

Sobre a letra e, me parece que x=1 não satisfaz nem a tese e nem a hipótese, logo, isso faz com que ele seja um exemplo para a proposição. Correto?


Outra dúvida: Não entendi bem essa demonstração, fui tentar fazer e agarrei aqui: \(x<-1 \Rightarrow x+1<0 \Rightarrow x^2(x+1)<0 \Rightarrow x^3+x^2<0\).

[Rui Carpentier]

Sobre a letra e, me parece que x=1 não satisfaz nem a tese e nem a hipótese, logo, isso faz com que ele seja um exemplo para a proposição. Correto?

Para dizer a verdade não sei qual a definição exata de exemplo de uma proposição, calculo que seja um valor/elemento para o qual a proposição é verdadeira e se for esse o caso então x=1 é exemplo da proposição.

Outra dúvida: Não entendi bem essa demonstração, fui tentar fazer e agarrei aqui: \(x<-1 \Rightarrow x+1<0 \Rightarrow x^2(x+1)<0 \Rightarrow x^3+x-1<-1 \Rightarrow x^3+x-1<0\)

Essa demonstração está errada de facto, por erro pensei que \(x^2(x+1)=x^3+x\) (é o que dá responder a perguntas em hora tão tardia), mas pode alternativamente demonstrar do seguinte modo: \(x<-1 \Rightarrow x<0 \Rightarrow x(x^2+1)<0 \Rightarrow x^3+x-1<-1 \Rightarrow x^3+x-1<0\).