Qual o valor da expressão

[pedrinho_carlos]

\(8^x+8^-x , uma vez que 2^x+2^-x=3\)

[danjr5]

Pedrinho,
confirme, por favor, se é isto:

Sabemos que \(2^x + 2^{- x} = 3\), calcule \(8^x + 8^{- x}\)

[pedrinho_carlos]

É isso mesmo, obrigado por me ajudar.

[danjr5]

Ok!

\(8^x + 8^{- x} =\)

\(8^x + \frac{1}{8^x} =\)

\((2^3)^x + \frac{1}{(2^3)^x} =\)

\(2^{3x} + \frac{1}{2^{3x}} =\)

\(\left ( 2^x + \frac{1}{2^x} \right )\left ( 2^{2x} - 2^x \cdot \frac{1}{2^x} + \frac{1}{2^{2x}} \right ) =\)

\(\left ( 2^x + \frac{1}{2^x} \right )\left ( 2^{2x} - 1 + \frac{1}{2^{2x}} \right )\)


Da outra equação, tiramos:

\(2^x + 2^{- x} = 3\)

\(2^x + \frac{1}{2^x} = \fbox{3}\)

elevando ao quadrado, teremos:

\(2^{2x} + 2 \cdot 2^x \cdot \frac{1}{2^x} + \frac{1}{2^{2x}} = 9\)

\(2^{2x} + 2 + \frac{1}{2^{2x}} = 9\)

\(2^{2x} + 3 - 1 + \frac{1}{2^{2x}} = 9\)

\(2^{2x} - 1 + \frac{1}{2^{2x}} = 9 - 3\)

\(2^{2x} - 1 + \frac{1}{2^{2x}} = \fbox{6}\)

Voltando a expressão que queríamos encontrar...

\(\left ( 2^x + \frac{1}{2^x} \right )\left ( 2^{2x} - 1 + \frac{1}{2^{2x}} \right )\)

\(3 \cdot 6 =\)

\(\fbox{\fbox{18}}\)


A saber,
\((a^3 + b^3) = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\)
e,
\((a^3 - b^3) = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\)

Espero ter ajudado!
Caso contrário, retorne!

Daniel.