problema sobre conjuntos

[Walter R]

O seguinte problema foi proposto no livro "Curso de Análise", de Elon Lages Lima, Ed. Impa:

" Dados os conjuntos A e B, seja X um conjunto com as seguintes propriedades:
(1) \(X \supset A\) e \(X \supset B\)
(2) Se \(Y \supset A\) e \(Y \supset B\), então \(Y \supset X\).

Prove que \(X = A \cup B\)"

De (1) facilmente se infere que \(X \supset A \cup B\).

O problema é que de (2) não consigo tirar a conclusão de que \(A\cup B \supset X\), para daí então chegar ao resultado procurado ( \(X=A\cup B\)).

[Fraol]

Boa noite,

Creio que o melhor é tentar provar por contradição, por exemplo, supondo \(X \neq A U B\) e assim verificar que não vale a hipótese (2).

Que tal?

[Fraol]

Olá, boa tarde.

Formalizando a resposta em cima da minha proposta anterior:

Consideremos \(X \neq AUB\) tal que (1) \(X \supset A\) e \(X \supset B\).
Então \(X\) contém ao menos um outro elemento que não pertence nem a \(A\) nem a \(B\).

Agora consideremos um certo conjunto \(Y\) tal que \(Y = AUB\),
então \(Y \supset A\) e \(Y \supset B\)
mas, pelo exposto acima, \(Y\) não pode conter \(X\),
pois este possui elementos além daqueles oriundos da união entre \(A\)e \(B\).

Então isso contraria a nossa hipótese (2) e portanto devemos concluir que \(X = AUB\).

[Walter R]

Bem argumentado. Obrigado!