22 mar 2013, 06:54
Olá, estou com dificuldades para resolver essa equação:
15625y + 11529 = 1024x
Calcular o valor de x,
Onde Y é elemento dos Naturais e múltiplo de 5
e X é menor número inteiro possível à equação.
Muito Obrigado !!!
23 mar 2013, 01:31
Boa noite,
Bom vamos lá, por favor dá uma olhada nas contas que fiz, se tiver algum erro manda de volta.
Inicialmente vamos rearranjar a equação ( que é diofantina, certo? ):
\(15625y + 11529 = 1024x \Rightarrow 15625y - 1024x = -11529\).
Como \(15625 = 5^6\) e \(1024 = {2}^{10}\) então \(MDC(15625,1024) = 1\).
Então, da teoria dos números sabemos que existem \(m, n\) tais que \(15625m - 1024n = 1\).
Fazendo algumas contas conclui-se que \(m=313\) e \(n=4776\).
Assim: \({15625} \cdot {313} - {1024} \cdot {4776} = {1}\). Agora multiplicando ambos os membros por -11529:
\({15625 \cdot \cdot 313 \cdot (-11529)} - {1024 \cdot 4776 \cdot (-11529)} = -11529\). E associando convenientemente:
\(15625 \cdot (-3608577 ) - 1024 \cdot (-55062504 ) = -11529\).
Então para \(t\) inteiro, temos:
\(y = -3608577 - 1024 \cdot t\) e
\(x = -55062504 - 15625 \cdot t\).
Como se quer o menor \(x\) inteiro e \(y\) natural múltiplo de \(5\), vamos ver o que conseguimos:
Analisando \(y = -3608577 - 1024 \cdot t\) para \(y\) natural e múltiplo de \(5\), então:
\(y = -3608577 - 1024 \cdot t > 0 \Rightarrow - 1024 \cdot t > 3608577 \Rightarrow t < - 3608577 / 1024\).
Por inspeção de valores conclui-se que \(t = -3528\) satisfaz as condições para \(y\) que fica igual a \(4095\).
Dessa forma \(x = 62496\).
Ufa!