Álgebra de Boole | Demonstre que 1'=0 e 0'=1

[jose Alberto]

OLá estou com dificuldade para realizar uma demostração logíca desse problema:

Usando a algebra de bollean
Faça uma Demonstração do porque 1' = 0 e 0'=1 .

[João P. Ferreira]

isso lembra-me da minha primeira aula de análise onde se provou que 1=1, confesso que não estou a ver como provar....

[Fraol]

Boa noite jose Alberto e João P. Ferreira

Permitam-me palpitr nessa discussão - Essa proposição é decorrência de um dos primeiros teoremas da álgebra booleana: Se \(p + q = 1\) e \(p.q = 0\) então \(q = p'\), que pode ser provado usando axiomas.

A prova seria algo assim:

\(q=q.1\) ( por axioma ).
\(q=q.(p + p')\) ( por axioma ).
\(q = q.p + q. p'\) ( por axioma ).
\(q = 0 + q. p'\) ( por hipótese ).
\(q = q. p' + 0\) ( por axioma ).
\(q = q. p'\) ( por axioma ).
\(q = p' . q\) ( por axioma ).
\(q = p' . q + 0\) ( por axioma ).
\(q = p' . q + p' . p\) ( por axioma ).
\(q = p' . (q + p)\) ( por axioma ).
\(q = p' . 1\) ( por hipótese ).
\(q = p'\) ( por axioma ).

Então, de acordo com o teorema acima:
Se \({1} + {0} = {1}\) e \({1}.{0} = {0}\) então \({0} = {1'}\)

O inverso é análogo.

[Fraol]

Ou diretamente, supondo que confiamos que \({1}.{0} = {0}.{1} = {0}\) e \({1}+{0}={0}+{1}={1}\), resultado que pode ser obtido de uma tabela de produto e soma, então teríamos:
( ou seja ou assumimos o teorema acima ou assumimos tabelas de multiplicação e soma ):

\({0} = {0}.{1}\) ( por tabela de multiplicação ).
\({0} = {0}.({1} + {1'})\) ( por axioma ).
\({0} = {0}.{1} + {0}.{1'}\) ( por axioma ).
\({0} = {0} + {0}. {1'}\) ( por tabela de multiplicação ).
\({0} = {0}.{1'} + {0}\) ( por axioma ).
\({0} = {0}.{1'}\) ( por axioma ).
\({0} = {1'}.{0}\) ( por axioma ).
\({0} = {1' }.{0} + {0}\) ( por axioma ).
\({0} = {1' }.{0 + {1'}. {1}\) ( por axioma ).
\({0} = {1' }. ({0} + {1})\) ( por axioma ).
\({0} = {1' }. {1}\) ( por tabela de soma ).
\({0} = {1'}\) ( por axioma ).

(Obs: reeditado para eliminar problema de visualização do latex).
.

[Rui Carpentier]

Ou então:

0'=0+0'=1

1'=1.1'=0

[Fraol]

Bom dia,

Ou então:

0'=0+0'=1

1'=1.1'=0

Mais simples e correto não podia ser. Perfeito!