Olá caro
regis, bom dia.
discipulo pitagórico Escreveu:provar a propriedade usando indução matemática nos números naturais.
p(n): 1.1! + 2.2! + 3.3! +...+ n.n! =(n+1)! - 1
Veja que \(p(1)\) é verdadeira.
Vamos assumir a hipótese de indução: \(p(n): 1.1! + 2.2! + 3.3! +...+ n.n! =(n+1)! - 1\) como verdadeira.
Então verifiquemos \(p(n+1)\):
\(p(n+1): 1.1! + 2.2! + 3.3! +...+ n.n! + (n+1).(n+1)! - 1\)
= \(p(n) + (n+1).(n+1)!\)
=\((n+1)! - 1 + (n+1).(n+1)!\)
=\((n+1)!(1 + n + 1) - 1\)
=\((n+1)!(n + 2) - 1\)
=\((n + 2)! - 1\)
Portanto, de acordo com o princípio da indução finita p(n), conforme acima, é válida para todo \(n \in N\).