Mostre que o quadrado de um numero impar é da forma 8q +1 para todo q inteiro

[EAFO]

\(Mostre\ que\ o\ quadrado\ de \ um\ numero\ impar\ e'\ da\ forma \ 8q\ +1\ para \ todo\ q\ inteiro\ .\)

[João P. Ferreira]

um número ímpar é da forma \(2n+1 \ \ n\in Z\)

\((2n+1)^2=4n^2+4n+1=4n(n+1)+1=8q+1\)

\(4n(n+1)=8q\)

\(q=\frac{n(n+1)}{2}\)

a multiplicação de dois números consecutivos (n e n+1) é sempre a multiplicação de um número par e outro ímpar (ou vice-versa). Logo a multiplicação dá sempre um número par. Logo a divisão por dois de um número para é sempre um número inteiro, logo existe \(q\) inteiro e esse \(q=\frac{n(n+1)}{2}\)