Estrutura em Álgebra
19 mai 2013, 01:52
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Re: Estrutura em Álgebra
19 mai 2013, 17:01
Só precisa de ver que o conjunto é fechado para produtos:
\(\left[\begin{matrix} a & b \\ -b & a \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} c & d \\ -d & c\end{matrix}\right] =\left[\begin{matrix} ac-bd & bc+ad \\ -(bc+ad) & ac-bd \end{matrix}\right]\)
e inversões:
\(\left[\begin{matrix} a & b \\ -b & a \end{matrix}\right]^{-1}=(a^2+b^2)^{-1}\left[\begin{matrix} a & -b \\ b & a \end{matrix}\right]\)
PS1- Note que a condição "a e b não nulos simultaniamente" é, neste caso, equivalente ao determinante ser não nulo (pois \(\det\left[\begin{matrix} a & b \\ -b & a \end{matrix}\right]=a^2+b^2\)) logo essa condição é perservada pelo produto e pela inversão.
PS2- A título de curiosidade esse subgrupo é isomorfo ao grupo multiplicativo dos números complexos não nulos: \(\mathbb{C}^*=\mathbb{C}\setminus \{0\}\).
\(\left[\begin{matrix} a & b \\ -b & a \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} c & d \\ -d & c\end{matrix}\right] =\left[\begin{matrix} ac-bd & bc+ad \\ -(bc+ad) & ac-bd \end{matrix}\right]\)
e inversões:
\(\left[\begin{matrix} a & b \\ -b & a \end{matrix}\right]^{-1}=(a^2+b^2)^{-1}\left[\begin{matrix} a & -b \\ b & a \end{matrix}\right]\)
PS1- Note que a condição "a e b não nulos simultaniamente" é, neste caso, equivalente ao determinante ser não nulo (pois \(\det\left[\begin{matrix} a & b \\ -b & a \end{matrix}\right]=a^2+b^2\)) logo essa condição é perservada pelo produto e pela inversão.
PS2- A título de curiosidade esse subgrupo é isomorfo ao grupo multiplicativo dos números complexos não nulos: \(\mathbb{C}^*=\mathbb{C}\setminus \{0\}\).