Fatoração

[cadusg]

Gostaria de ajuda para simplicar ao máximo a seguinte expressão:

........a³......+........b³.......+......c³
----------------..----------------...----------------
(a - b)(a - c)....(b - c)(b - a)....(c - a)(c - b)




O gabarito é: a + b + c

[Rui Carpentier]

Sabendo o gabarito a maneira mais simples é tomar a diferença de

........a³......+........b³.......+......c³
----------------..----------------...----------------
(a - b)(a - c)....(b - c)(b - a)....(c - a)(c - b)

por

a + b + c

e verificar que dá zero.

Senão, de um modo mais dedutivo, pode ser útil recorrer à mudança de variáveis b=a+x e c=a+y.

[cadusg]

Sabendo o gabarito a maneira mais simples é tomar a diferença de

........a³......+........b³.......+......c³
----------------..----------------...----------------
(a - b)(a - c)....(b - c)(b - a)....(c - a)(c - b)

por

a + b + c

e verificar que dá zero.

Senão, de um modo mais dedutivo, pode ser útil recorrer à mudança de variáveis b=a+x e c=a+y.

Eu só coloquei o gabarito pra ajudar quem ia fazer a conta. Não vou usar ele pra resolver a questão porque não vou aprender.

[Rui Carpentier]

Senão, de um modo mais dedutivo, pode ser útil recorrer à mudança de variáveis b=a+x e c=a+y.

[cadusg]

Senão, de um modo mais dedutivo, pode ser útil recorrer à mudança de variáveis b=a+x e c=a+y.

Eu vi essa parte, mas realmente preciso de um "desenho" de como fazer. Me desculpe =\

[Rui Carpentier]

Fazendo a mudança de variáveis b=a+x e c=a+y temos que:

\(\frac{a^3}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^3}{(b-a)(b-c)}+\frac{c^3}{(c-a)(c-b)}=\)

\(=\frac{a^3}{xy}+\frac{(a+x)^3}{x(x-y)}+\frac{(a+y)^3}{y(y-x)}=\)

\(\frac{a^3(x-y)}{xy(x-y)}+\frac{(a+x)^3}{x(x-y)}-\frac{(a+y)^3}{y(x-y)}=\)

\(\frac{a^3x}{xy(x-y)}-\frac{a^3y}{xy(x-y)}+\frac{(a+x)^3}{x(x-y)}-\frac{(a+y)^3}{y(x-y)}=\)

\(\frac{a^3}{y(x-y)}-\frac{a^3}{x(x-y)}+\frac{(a+x)^3}{x(x-y)}-\frac{(a+y)^3}{y(x-y)}=\)

\(\frac{a^3}{y(x-y)}-\frac{(a+y)^3}{y(x-y)}+\frac{(a+x)^3}{x(x-y)}-\frac{a^3}{x(x-y)}=\)

\(-\frac{(a+y)^3-a^3}{y(x-y)}+\frac{(a+x)^3-a^3}{x(x-y)}=\)

\(-\frac{y((a+y)^2+(a+y)a+a^2)}{y(x-y)}+\frac{x((a+x)^2+(a+x)a+a^2)}{x(x-y)}=\)

\(-\frac{(a+y)^2+(a+y)a+a^2}{x-y}+\frac{(a+x)^2+(a+x)a+a^2}{x-y}=\)

\(\frac{(a+x)^2-(a+y)^2+(a+x)a-(a+y)a}{x-y}=\)

\(\frac{(x-y)(2a+x+y)+(x-y)a}{x-y}=\)

\(3a+x+y=a+b+c\)

[cadusg]

Fazendo a mudança de variáveis b=a+x e c=a+y temos que:

\(\frac{a^3}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^3}{(b-a)(b-c)}+\frac{c^3}{(c-a)(c-b)}=\)

\(=\frac{a^3}{xy}+\frac{(a+x)^3}{x(x-y)}+\frac{(a+y)^3}{y(y-x)}=\)

\(\frac{a^3(x-y)}{xy(x-y)}+\frac{(a+x)^3}{x(x-y)}-\frac{(a+y)^3}{y(x-y)}=\)

\(\frac{a^3x}{xy(x-y)}-\frac{a^3y}{xy(x-y)}+\frac{(a+x)^3}{x(x-y)}-\frac{(a+y)^3}{y(x-y)}=\)

\(\frac{a^3}{y(x-y)}-\frac{a^3}{x(x-y)}+\frac{(a+x)^3}{x(x-y)}-\frac{(a+y)^3}{y(x-y)}=\)

\(\frac{a^3}{y(x-y)}-\frac{(a+y)^3}{y(x-y)}+\frac{(a+x)^3}{x(x-y)}-\frac{a^3}{x(x-y)}=\)

\(-\frac{(a+y)^3-a^3}{y(x-y)}+\frac{(a+x)^3-a^3}{x(x-y)}=\)

\(-\frac{y((a+y)^2+(a+y)a+a^2)}{y(x-y)}+\frac{x((a+x)^2+(a+x)a+a^2)}{x(x-y)}=\)

\(-\frac{(a+y)^2+(a+y)a+a^2}{x-y}+\frac{(a+x)^2+(a+x)a+a^2}{x-y}=\)

\(\frac{(a+x)^2-(a+y)^2+(a+x)a-(a+y)a}{x-y}=\)

\(\frac{(x-y)(2a+x+y)+(x-y)a}{x-y}=\)

\(3a+x+y=a+b+c\)

Excelente! Muito obrigado, amigo!
Espero poder contar com sua ajuda com minhas futuras dúvidas.