Produtos Notáveis, sendo M= (yª + 1/yª)² e N= (yª - 1/yª)², calcule (M - N)²

[LkN]

Sendo M= (yª + 1/yª)² e N= (yª - 1/yª)², calcule (M - N)²

[Mauro]

Sendo M= (yª + 1/yª)² e N= (yª - 1/yª)², calcule (M - N)²

Será que consigo, Prezados?

Vamos por partes, como diria o esquartejador de Brighton:

\(M=(y^a+\frac{1}{y^a})^2\)

\(N=(y^a-\frac{1}{y^a})^2\)

Se fizermos, para desembolar,

\(y^a=x\)

\(M=(x+\frac{1}{x})^2=x^2+2+(\frac{1}{x})^2=x^2+2+\frac{1}{x^2}\)

e

\(N=(x-\frac{1}{x})^2=x^2-2+(\frac{1}{x})^2=x^2-2+\frac{1}{x^2}\)

Vamos desenbolar mais um pouco e vamos fazer

\(x^2+\frac{1}{x^2}=k\)

Agora, como se deseja

\((M-N)^2\)

podemos fazer

\(M=k+2\)

e

\(N=k-2\)

o que daria

\((M-N)^2 = (k+2)^2-2\times (k+2)\times(k-2)+(k-2)^2\)

Espalhando tudo

\([k^2+4k+4]-[2(k^2-4)]+[k^2-4k+4]\)

um pouquinho mais só para cansar

\(k^2+4k+4-2k^2+8+k^2-4k+4\)

Agora agrupar os k2 e os 4k. Como se anulam, só sobram as constantes:

\([2k^2-2k^2]+[4k-4k]+4+8+4=16\)

Será, então, que não importam as incógnitas,\((M-N)^2 = 16\)?

Com a palavra, os Mestres.

Editado pela última vez por Mauro em 13 jun 2013, 10:46, num total de 1 vez.

[Fraol]

Boa noite,

Tomo a palavra, mesmo longe de ser um mestre. Verifiquei a resposta do Mauro e está correta.

[João P. Ferreira]

Caro Mauro, muito, muito obrigados, a comunidade agradece

Seja sempre bem aparecido

Abraço caro Mauro e um abraço ao meu caro amigo Francisco