Produtos Notáveis de ordem 3

[LkN]

Os números reais x e y são soluções do seguinte sistema de equações:

x³ + 3x²y + 3xy² + y³ = 2√2
x³ - 3x²y + 3xy² - 2y³ = 0

Assim é correto afirmar que x² + y² é igual a:
a)8/9
b)2
c)1
d)10/9

[João P. Ferreira]

Repare que

\(x^3 + 3x^2 y + 3xy^2 + y^3 = (x+y)^3 = {2\sqrt{2}}\)

e que

\(x^3-3x^2y+3xy^2-2y^3 = (x^3-3x^2y+3xy^2-y^3)-y^3 = (x-y)^3-y^3 = 0\)

então

\((x+y)^3 = 2\sqrt{2}\)

e

\((x-y)^3 = y^3\) o que equivale a \(x-y=y\) ou seja \(x=2y\)

Então:

\((x+y)^3 = 2\sqrt{2}\)

\((2y+y)^3 = 2\sqrt{2}\)

\((3y)^3 = 2\sqrt{2}\)

\(y = {(2\sqrt{2})^{1/3} \over 3}\)

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\(x^2+y^2=(2y)^2+y^2=5y^2=5\left({(2\sqrt{2})^{1/3} \over 3}\right)^2={5 \sqrt[3]{8} \over 9}=10/9\)