(UFF) Potência/Complexos: S = 1 + i + i² + ...

[danjr5]

Questão que caiu no Vestibular do UFF

QUESTÃO 16
O valor de \(S = 1 + i + i^2 + i^3 + i^4 + ...\) , sendo i a unidade imaginária dos números complexos,
é igual a:
a) \(i\)
b) \(i/2\)
c) \(1/i\)
d) \(1 + i\)
e) \(1/2 + (1/2)i\)

A alternativa certa é a e, como eu chego na resposta?

Editado pela última vez por danjr5 em 06 jul 2013, 01:42, num total de 1 vez.
Razão: Arrumar Título e inserir LaTeX

[João P. Ferreira]

Será isto????

\(S = 1 + i + i^2 + i^3 + i^4+....\)

[pedrohmc]

Será isto????

\(S = 1 + i + i^2 + i^3 + i^4+....\)

Isso mesmo, não vi as propriedades do editor de equações

[npl]

A mim parece-me que a resposta depende do número de termos da sequência considerado, pois os termos alternados da sequência anulam-se(cancelam-se).

[danjr5]

Consideremos a P.G \(\begin{cases} a_1 = i \\ a_2 = i^2 \\ q = i \end{cases}\)

Sabemos que a soma dos termos de uma PG infinita é dada por \(S_n = \frac{a_1}{1 - q}\)

Portanto,

\(S_n = \frac{a_1}{1 - q}\)

\(S_n = \frac{i}{1 - i}\)

\(S_n = \frac{i}{1 - i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i}\)

\(S_n = \frac{i(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)}\)

\(S_n = \frac{i + i^2}{1 - i^2}\)

\(S_n = \frac{i + (- 1)}{1 - (- 1)}\)

\(S_n = \frac{i - 1}{2}\)

\(\fbox{S_n = - \frac{1}{2} + \frac{i}{2}}\)


Por fim,

\(S = 1 + \underbrace{i + i^2 + i^3 + ....}_{- \frac{1}{2} + \frac{i}{2}}\)

\(S = 1 - \frac{1}{2} + \frac{i}{2}\)

\(S = \fbox{\fbox{\frac{1}{2} + \frac{i}{2}}}\)

Alternativa e.

[npl]

Sabemos que a soma dos termos de uma PG infinita é dada por \(S_n = \frac{a_1}{1 - q}\)

danjr5 essa afirmação é verdadeira quando a razão da progressão geométrica exponeciada um número infinto de vezes tende para zero.
Mas tal não me parece ser o caso de \(i^\propto\).
Por isso não compreendo as alternativas oferecidas para a solução do problema...

[João P. Ferreira]

Boas caro Nuno

Se me permite caro Daniel

Aqui não se trata de apenas \(i^{\infty}\) mas sim de \(\sum_{n=0}^\infty i^n=1+i+i^2+i^3+...\)

\(\sum_{n=0}^\infty i^n=(1+i+i^2+i^3)+(i^4+i^5+i^6+i^7)+...=(1+i-1-i)+(1+i-1-i)+(1+i-1-i)+(1+i-1-i)+...\)

Daniel, o que vc mostrou é válido no caso do módulo da razão ser menor que 1, ou seja \(\sum r^n\) é convergente se \(|r|<1\) mas neste caso \(|i|=1\)

é como a série \(\sum_{n=0}^\infty (-1)^n=1-1+1-1+1-1+...\)

acho eu (a necessitar de confirmação) que nenhuma das alíneas se aplica pois a série divergente

Abraços aos dois

[danjr5]

De acordo!! E, obrigado pelo esclarecimento.