Fração: 3,333... + 0,31515...

[danjr5]

Em fração quanto da a seguinte soma: 3,333... + 0,31515... ?

Por favor..

Editado pela última vez por danjr5 em 29 jun 2013, 22:41, num total de 1 vez.
Razão: Arrumar Título

[Mauro]

Em fração quanto da a seguinte soma: 3,333... + 0,31515... ?

Por favor..

Caro Filipe, vou me alongar bastante uma coisa que eu poderia mostrar-lhe como apenas uma operação com frações.
Mas, não bastaria, a meu entender. Isto só serviria para treinar suas quatro operações, mas não o entendimento das coisas.

As pessoas tendem a ler os números inteiros e decimais de forma reduzida, a fim de não falar muitas palavras. Economia de energia, eu presumo

Por exemplo, ao lerem 3,33 costumam dizer (três, vírgula, trinta e três). Isto é prático, mas não ajuda a resolver o problema que você tem pela frente.

Então, para resolver, vamos ler conforme a Matemática gosta, o mesmo valor exemplificado:

3,33 : 'Três inteiros e trinta e três centésimos de inteiro" ou, de forma simplificada, "Três inteiros e trinta e três centésimos".

Outra coisa importante, nos números decimais a vírgula equivale ao sinal de operação de adição. Toda a vez que você ver uma vírgula diga para você mesmo 'MAIS'.

Assim, 3,33 seria 'três MAIS trinta e três centésimos'.

Ora, o problema nos dá uma soma cujas parcelas são duas dízimas. Isto é, há as reticências para nos dizer que os números se repetem, se repetem, sempre a mesma coisa, sem um fim.

Para fazer a operação de adição, entretanto, precisamos de um número finito, de modo que devemos cortar a dízima onde desejarmos. Vai valer aí apenas o nosso desejo por precisão do resultado.

Então, vejamos como podemos ler

3,333... + 0,31515...

Vamos igualar as casas decimais de ambas as parcelas, a fim de que possamos 'falar a mesma língua decimal'. Isto é, vamos fazer a quantidade de dígitos serem iguais, já que são dízimas:

3,33333 + 0,31515

Se fosse 3,3 para a primeira parcela, diríamos 3 inteiros e três décimos (olha as palavras em negrito e a fração abaixo) e escreveríamos

\(3 \frac{3}{10}\)

Se fosse 3,33, diríamos três inteiros e trinta e três centésimos e escreveríamos

\(3 \frac{33}{100}\)

Se fosse 3,333, diríamos três inteiros e trezentos e trinta e três milésimos e escreveríamos

\(3 \frac{333}{1000}\)

Se fosse, 3,3333, diríamos três inteiros e trinta e três mil, trezentos e trinta e três décimos de milésimos, que escreveremos

\(3 \frac{3333}{10000}\)

Agora chegamos ao fim, qual seria a próxima fração? Assim:

\(3 \frac{33333}{100000}\)


Agora, é só fazer uma fração similar para a segunda parcela, trocando apenas os algarismos nos lugares certos, já que ambas têm a mesma quantidade de dígitos à direita da vírgula, certo?

A soma, então, seria

\(s = 3 + {\frac{33333}{100000}} + 0 + {\frac{31515}{100000}}\)

O zero na segunda parcela é porque, no número original dado no problema, começava com '0,...', vê?

Então, para saber que frações correspondem aos números decimais, dê os nomes corretos às partes.

O resto é conta.

Como os números inteiros são também frações com denominador igual a 1, sua soma (letra s) seria então

\(\frac{s}{1} = \frac{33333}{1} + {\frac{3}{100000}} + \frac{0}{1} + {\frac{31515}{100000}}\)

\(100000 \times s = 100000 \times 3 + 33333 + 0 + 31515\)

Passando o termo inteiro junto a 's' para o outro lado, passa dividindo todo o segundo membro


\(s = \frac{300000+ 33333 + 31515}{100000}\)

\(s = \frac{364848}{100000}\)

O equivalente em decimal da fração acima é

==================================================================

\(\fbox{s = 3,64848}\) (EQUIVALE EU TER DEIXADO O BLÁ BLÁ BLÁ ACIMA E TER COMEÇADO A EXPLICAÇÃO DIRETAMENTE AQUI, SOMANDO AS DUAS PARCELAS NO FORMATO DECIMAL)

Ou seja, SE EU NÃO ERREI NAS CONTAS, na parte mecânica da coisa

\(s = 3 \frac{64848}{100000}\)

Simplificando por 2 somente a parte fracionária, caro Filipe, veja lá quanto acha?

Serei que errei nas contas?

Abração
Mauro

[danjr5]

Mauro,
tua boa vontade é notável! Parabéns!

No todo, não li sua resposta por completa. Por essa razão, peço desculpas caso tenha passado algo despercebido por mim.

Segue uma observação:

\(0,333 \neq 0,333...\)

\(\frac{3}{1000} \neq \frac{3}{9}\)

[Filipe Monteiro]

Agradeço muito sua dedicação é uma ótima pessoa, eu entendi o calculo, porém, no simulado que
Realizei tinham os seguintes resultados:

a) 536/131

b)602/165

c) 700/301

d) 712/197

e) 819/229

Eu não cheguei a nenhum desses resultados simplificando nosso raciocinio, provavelmente essa questão caberia recurso e seria anulada, por favor o senhor consegue achar algum desses resultados?

[danjr5]

Não Filipe! Não cabe recurso!!

Por partes:

=> 3,333...:

\(3,333... =\)

\(3 \frac{3^{\div 3}}{9^{\div 3}} =\)

\(3 \frac{1}{3} =\)

\(\frac{3 \times 3 + 1}{3} =\)

\(\fbox{\frac{10}{3}}\)


=> 0,31515...:

\(0,31515... =\)

\(\frac{315 - 3}{990} =\)

\(3 \frac{312^{\div 6}}{990^{\div 6}} =\)

\(\fbox{\frac{52}{165}}\)


Portanto,

\(\frac{10}{3} + \frac{52}{165} =\)

\(\frac{10}{3/55} + \frac{52}{165/1} =\)

\(\frac{550 + 52}{165} =\)

\(\fbox{\fbox{\frac{602}{165}}}\)

Portanto, alternativa b.

[Mauro]

Mauro,
tua boa vontade é notável! Parabéns!

No todo, não li sua resposta por completa. Por essa razão, peço desculpas caso tenha passado algo despercebido por mim.

Segue uma observação:

\(0,333 \neq 0,333...\)

\(\frac{3}{1000} \neq \frac{3}{9}\)

Obrigado pela intervenção, Daniel. É por isto e por outras que gosto deste forum. A gente pode expor as ideias e aprender. Eu não quero ensinar ninguém, isto é uma grande responsabilidade.
Minhas intervenções são sempre para discutir.

Neste caso, é mesmo primário o meu engano.

Eu não tenho formação em matemática (longe disto) por isto mesmo que não ouso dar respostas definitiva.

Claro, uma dízima não pode ser cortada, considerada como um inteiro para fins de cálculo, formalmente.

É que tendo a ser prático e não técnico.

Mil perdões a quem enganei. Vou ter mais cuidado em responder.

Abração
Mauro

[danjr5]

(...) É por isto e por outras que gosto deste forum. A gente pode expor as ideias e aprender...

Faço das suas palavras as minhas! No entanto, acrescento uma opinião: a meu ver, aprendemos de duas formas eficazes; são elas, errando e ensinando. Não, necessariamente, na ordem descrita.

No mais, não precisa se desculpar pelo erro, isso acontece com qualquer um de nós.

Forte abraço.

Até!!

[npl]

=> 0,31515...:

\(0,31515... =\)

\(\frac{315 - 3}{990} =\)

\(3 \frac{312^{\div 6}}{990^{\div 6}} =\)

\(\fbox{\frac{52}{165}}\)

Confesso que não entendi esta subtracção de 3 unidades ao numerador(315).

Para se obter uma fracção racional destas dízimas infinitas pode se recorrer à fórmula do cálculo de n termos duma progressão geométrica.

Mauro para quem não tem formação matemática é admirável o desempenho/interesse que demonstra.
Parabéns!

[danjr5]

Npl,
Veja a definição na parte final da página: http://pt.wikipedia.org/wiki/D%C3%ADzima_peri%C3%B3dica.