Infimo e supremo

[Anne Cristina Vieira]

Boa tarde, preciso muito de ajuda. Ai vai.
Considere um conjunto A não vazio de números reais limitdo inferiormente. Seja -A = {-x;x pertence A} .
Mostre que inf (A) = - sup (-A)
Até achei algumas respostas mas muito confusas.
Desde Já agradeço
Anne

[João P. Ferreira]

Parece-me que um conjunto contem os números simétricos do outro conjunto, logo o ínfimo do conjunto de números positivos, será o supremo do conjunto com números negativos, mas como provar formalmente, confesso que não sei

[Rui Carpentier]

Este é daquelas igualdades em que é mais fácil deduzir mostranto as desigualdades oposta.

(1) \(\inf (A)\leq -\sup(-A)\) :

Por definição \(\inf(A)\) é um minorante de \(A\) (é o maior dos minorantes), logo \(\inf(A)\leq a ~ , ~ \forall a\in A ~ \Leftrightarrow ~ -\inf(A)\geq -a ~ , ~ \forall -a\in -A\) ou seja \(-\inf(A)\) é um majorante de \(-A\) logo \(-\inf(A)\geq \sup(-A)\) pois o supremo é por definição o menor dos majorantes. Ou seja temos \(\inf (A)\leq -\sup(-A)\).

(2) \(\inf (A)\geq -\sup(-A)\) :

Por definição \(\sup(-A)\) é um majorante de \(-A\) (é o menor dos majorantes), logo \(\sup(-A)\geq a ~ , ~ \forall a\in -A ~ \Leftrightarrow ~ -\sup(-A)\leq -a ~ , ~ \forall -a\in A\) ou seja \(-\sup(-A)\) é um minorante de \(A\) logo \(-\sup(-A)\leq \inf(A)\) pois o ínfimo é por definição o maior dos minorantes. Ou seja temos \(\inf (A)\geq -\sup(-A)\).