24 jul 2013, 05:07
Oi pessoal, segue o exercício
Seja o conjunto \(S=\left \{ r\in \mathbb{Q}/r\geq 0,r^{2}\leq 2 \right \}\), sobre o qual são feitas as seguintes afirmações:
\(I.\frac{5}{4}\in S,\frac{7}{5}\in S\)
\(II.\left \{ x\in \mathbb{R}/0\leq x\leq \sqrt{2} \right \}\cap S=\)Ø
\(III.\sqrt{2}\in S\)
Pode-se dizer, então, que é (são) verdadeira(s) apenas
A(x) I e II (minha resolução)
B( ) I e III
C( ) II e III
D( ) I
E( ) II
Minha resolução
1. Unificar as inequações do conjunto descrito por compreensão
\(0\leq r\leq \sqrt{2}\)
\(S=\left \{ r\in \mathbb{Q}/0\leq r\leq \sqrt{2} \right \}\)
Porém
\(\mathbb{Q}=\left \{ r/r=\frac{p}{q},p\in \mathbb{Z},q\in \mathbb{Z}\ast \right \}\)
\(\sqrt{2}\simeq1,41\)
\(\frac{5}{4}=1,25\) e \(\frac{7}{5}=1,4\)
Então, creio que a primeira afirmação esteja correta.
2. Se S é um conjunto de natureza racional
\(S\subset \mathbb{R}\)
Se chamarmos o conjunto do exercício de A, veremos que ele é de natureza real
\(A=\left \{ x\in \mathbb{R}/0\leq x\leq \sqrt{2} \right \}\)
O intervalo dos dois conjuntos é o mesmo.
Portanto
\(S\subset A\)
Porém
\(S\subset A,A\cap S=S\)
Portanto, creio que a segunda afirmação esteja errada.
3. Falsa, pois \(\sqrt{2}\) é um número irracional, e esse elemento não pertence ao conjunto S
\(\sqrt{2}\notin S\)
Gostaria que analisassem o exercício e minha resolução.
Obrigado.
26 jul 2013, 18:05
Na verdade a alternativa correta é o item (d) . Como você já mostrou que os itens (i) é verdadeiro e (iii) é falso .Para mostrar que o item (ii) é falso , basta mostrar existe pelo menos um elemento comum a ambos conjuntos .Por exemplo , \(5/4 \in S\) .Além disso , \(5/4 \leq \sqrt{2}\) ;logo \(5/4 \in A\) .