ITA(2010) - propriedades de conjuntos

[vestibulando123]

Considere as afirmações abaixo relativas a conjuntos A, B e C quaisquer:

I. A negação de \(x\in A\cap B\) é: \(x\notin A\vee x\notin B\)

\(II.A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\)

III. (A\B) U (B\A) = (A U B)\(A \(\cap\)B)

Destas, é (são) falsa(s)
A ( ) apenas I.
B ( ) apenas II.
C ( ) apenas III.
D ( ) apenas I e III.
E ( ) nenhuma.

Minha resolução.

1. Se a propriedade de intersecção é dada por

\(A\cap B=\left \{ x/x\in A\wedge x\in B \right \}\)

A sua negação seria

\(x\notin A\wedge x\notin B\)

Portanto, consideraria a primeira errada.

2. Lembro de ter lido que essa propriedade é verdadeira em algum livro, mas não certeza e não sei como realizar a demonstração. Creio que esteja correta.

3. Se

\(A\setminus B=\left \{ x;x\in A\wedge x\notin B \right \}\)

Que eu saiba essa é a definição de diferença de conjuntos.

Então

\(A\setminus B=A-B\)

Contudo não sei verificar a validade da terceira afirmativa.

Poderiam analisar minha resolução e me ajudar a resolver a terceira?

Obrigado.

[santhiago]

Na minha opnião todos itens são verdadeiros.

(i)

\(k \in A\cap B \leftrightarrow k \in A \wedge k \in B\) . Assim,a negação de \(k \in A \wedge k \in B\) é \(k \notin A \vee k \notin B\) .

Apresento um contra-exemplo contra sua afirmação .

\(A = \{1,3,6,9\} , B = \{3,6,9,8,11,13\}\) .

Temos : \(A\cap B =\{3,6,9\}\) .Segue,\(11 \notin A\) e portanto \(11 \notin A\cap B\) . Por outro lado , \(11 \in B\) .

(ii)

Seja \(v \in A\cap (B\cup C)\) então \(v \in A \wedge v \in B\cup C\) sse \(v \in A \wedge( v \in B \vee v \in C )\) sse \((v\in A \wedge v\in B ) \vee (v\in A \wedge v\in C )\) sse \(v \in A \cap B \vee v \in A \cap C\) .

(iii)

\(u \in (A\setminus B) \cup (B\setminus A)\) sse \(u \in (A\setminus B) \vee u\in (B\setminus A)\) sse \((u \in A \wedge u\notin B ) \vee (u \in B \wedge u \notin A )\) sse \((u \in A \wedge u \notin A\cap B)\vee (u \in B \wedge u \notin A\cap B)\) sse \(u \in (A\cup B)\setminus(A\cap B)\)

Não tenho absoluta certeza se o item (iii) resolve-se desta forma .

[vestibulando123]

Oi santhiago,

Primeiramente quero agradecer pela sua excelente contribuição para meu aprendizado.

Gostaria de saber se a minha definição para intersecção está correta, pois estou com medo ter um erro conceitual, o qual é muito difícil de esquecer e frustrante, ou se apenas a negação está incorreta.

Só para entender o porquê errei meu caro santhiago, foi devido a afirmar que um elemento que não está na intersecção não pertence a nenhum dos dois conjuntos? Contudo, isso é incorreto pois como você exemplificou, o elemento B pode possuir sim um elemento que não pertence a A e a intersecção A e B ou ao mesmo tempo ou vice-versa. É isso mesmo?

No gabarito do exercício consta a resposta E, nenhuma afirmativa é falsa.

Novamente obrigado pela ajuda santhiago.

[santhiago]

Não há de quê .Errou apenas com a negação . As definições utilizadas estão corretas . Em um caso particular em que \(x\in W\) (suponha \(W \cap (A\cup B) = \varnothing\)"vazio") é verdadeira sua negação .Por outro lado , dado \(y\) em \((A\setminus B) \cup (B\setminus A)\) implica \(y\notin A\cap B\). Assim ,de forma geral sua negação é falsa ,como o contra-exemplo postado acima mostrar .