Condições de existência das raízes de uma equação biquadrada

[cfizadora]

(TTN 1997/ESAF) A soma de todas as raízes da equação x^4 - 25 (x^2) + 144 = 0 é igual a:
a) 0
b) 16
c) 9
d) 49
e) 25
Gabarito: alternativa "a"

Na equação quadrática x^4 - 25 (x^2) + 144 = 0, substitui-se x^2 por y (x^2=y) e encontra-se a seguinte equação de 2º grau: y^2 - 25(y) + 144 = 0. Por meio da resolução desta equação de 2º grau, encontram-se as raízes y' = 16 e y''= 9.

Para encontrar zero como resposta, deve-se fazer o seguinte:
Se x^2=y e y''= 9, então x' = + ou - 3
Se x^2=y e y''=16, então x''=+ ou - 4



A minha dúvida está na hora de se encontrarem as raízes da equação biquadrada (x' e x'') porque existe uma condição: não existe raiz negativa de número positivo com índice par (no conjunto dos números reais)? Assim, embora (-5).(-5) tenha 25 como resultado, isso não significa que a raiz quadrada de 25 possa ser (-5). Aplicando-se à questão, não existem as raízes -4 e -3, pois as raízes quadradas dos números 16 e 9 não podem ser números negativos.

Então, não entendo como a resposta da questão pode ser zero se as raízes quadradas de 16 e 9 só podem ser, respectivamente, +4 e +3.

[João P. Ferreira]

Olá

Pela fórmula de Vieta, sabe-se que num polinómio

\(P(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} +\cdots + a_1 x+ a_0 \,\)

a soma das raízes de \(P(x)\) é

\(x_1 + x_2 + \dots + x_{n-1} + x_n = -\frac{a_{n-1}}{a_n}=-\frac{a_3}{a_4}=-\frac{0}{1}=0\)

o que prova que fez as contas corretas pois a soma das raízes que achou dá \({-3+3-4+4}={0}\)

Considerando o seu polinómio \(P(x)=x^4 - 25 x^2 + 144\)

\(-4\) e \(-3\) são raízes do seu polinómio pois \(P(-4)=P(-3)=0\)

[cfizadora]

Entendi porque a soma das raízes deve ter zero como resultado. Obrigada.


Mas (desculpe se a minha dúvida é boba) como números positivos (16 e 9, na questão) poderão ter números negativos como raízes (-4 e -3)? Ou os números -3 e -4 aparecem na resposta porque a soma tem que dar zero e não porque são raízes de 9 e 16?

x^4 -25x^2 +144 = 0 => substituindo x^2 por y => x^2 -25x +144 = 0
as raízes da equação de segundo grau são 16 e 9.
Se, y= 9 e x^2 =y => x^2 = 9 => x =+ ou - 9
Se, y= 16 e x^2 =y => x^2 = 16 => x =+ ou - 16

[João P. Ferreira]

As raízes fazem referência a funções, que neste caso particular são polinómios não a números isolados.

As raízes de \(f(x)\) são todos os valores de \(x\) tal que \(f(x)=0\)

Se, \(y= 9\) e \(x^2=y \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x =+3 \ \vee x= - 3\)

pois \((-3)^2=3^2=9\)

O mesmo para o outro caso

[cfizadora]

Muito obrigada pela resposta!