Resolver a equação

[vestibulando123]

Oi pessoal,

O exercício é

\(\frac{(x+1)^3(x+2)^3}{x^2+3x+2}=0\)

Fiz o seguinte

\(\frac{(x+1)^3(x+2)^3}{(x+1)(x+2)}=0\)

\((x+1)^2(x+2)^2=0\)

Pela propriedade do produto nulo, em um produto nulo algum fator é nulo

\((x+1)^2=0\)

\(x+{1}=0\)

\(x=-1\)

e

\((x+2)^2=0\)

\(x+{2}=0\)

\(x=-2\)

Então, o conjunto solução seria -1 e -2.

Contudo, o gabarito diz que a solução é conjunto vazio.

Não entendi o porquê. Poderiam me explicar?

Detalhe, o exercício não deixa explícito qual é o conjunto universo.

Grato.

Um abraço!

Editado pela última vez por vestibulando123 em 07 set 2013, 17:13, num total de 2 vezes.

[npl]

Belo exercício!

Vestibulando repare que qualquer das soluções que encontrou anulam o denominador da expressão inicial, logo elas não podem fazer parte da solução, pois ainda ninguém sabe o que é dividir por zero, ou pelo menos, ninguém conseguiu mensurar essa divisão.
Cumprimentos,
NPL.

Ps - o gabarito é uma máquina de calcular?

[danjr5]

Vestibulando,
não deverias ter desconsiderado o denominador. Note que,

\((x + 1) \neq 0 \\ \fbox{x \neq - 1}\)

E,

\((x + 2) \neq 0 \\ \fbox{x \neq - 2}\)

[npl]

Vestibulando

Experimente resolver a expressão do denominador com os valores que temos em causa e tente encontrar aquilo em que errou.
Se não conseguir depois eu ajudo, mas só se se esforçar um bocadinho!
Cumprimentos!
NPL.

[vestibulando123]

Oi pessoal,

Obrigado pela ajuda.

Os valores -1 e -2 para x realmente anulam o denominador e eu não havia percebido isto!

Agora compreendo o porquê do conjunto solução ser um conjunto vazio!

Contudo, estou em um grande dilema agora.

Fiz vários exercícios em que o a razão entre o numerador e o denominador é zero, e desconsiderando o denominador, encontrei as raízes, as quais eram corretas! Isto quer dizer que, em uma razão nula, eu devo sempre verificar as raízes para o denominador? Caso os valores anulem o denominador, o conjunto verdade ou solução será vazio. Foi isto que aprendi com esse exercício. Estou correto?

Vejam o exemplo de um exercício que fiz há pouco tempo

\(\frac{(x-1)^3(x-2)(2x-1)^4}{(4x^2-1)^1^0}=0\)

\(\frac{(x-1)^3(x-2)(2x-1)^4}{[(2x+1)(2x-1)]^1^0}=0\)

\(\frac{(x-1)^3(x-2)(2x-1)^4}{(2x+1)^1^0(2x-1)^1^0}=0\)

\(\frac{(x-1)^3(x-2)}{(2x+1)^1^0(2x-1)^6}=0\)

\((x-1)^3(x-2)=0\)

Facilmente encontram-se as raízes 1 e 2.

Substituindo esses valores no denominador, não teremos um denominador nulo. Isso conclui o meu aprendizado sobre o exercício em questão que explicitei logo acima?

Muito obrigado pessoal, estou aprendendo muito.

Abraço.

[npl]

Vestibulando

O numerador pode ser zero, pense por exemplo uma companhia cujos lucros foram zero Reais a longo do ano e vai distribuir esses lucros em dividendos pelos accionistas, ou seja, vai dividir zero pelos accionistas todos. Claro que cada accionista irá receber dividendos no valor de zero!
Esta ideia faz sentido.

Já ao dividir por zero é que não se sabe ao certo de que quantidade estamos a falar, poderá nas melhores das hipóteses talvez afirmar/conjecturar que é infinito, pois à medida que o denominador se aproxima de zero e o numerador se mantêm constante, o resultado aproxima-se de infinito.

Todavia para falarmos duma razão só podemos falar duma quantidade definida, pois isso é que é racional, isso é que se pode racionalizar.
Assim o denominador não pode ser zero, caso contrário entramos no campo em que não se fala duma quantidade definida(racional).

Só tem que ter o zelo do denominador não se anular quando faz os seus cálculos.
Se por acaso nos seus cálculos encontrar um valor que anula o denominador, deve excluí-lo do conjunto de resultados, pois aquilo que está em análise somente comporta quantidades definidas(racionais).

Espero que isto faça algum sentido. Aqui já estamos a entrar na filosofia que serve de suporte à matemática.

Cumprimentos,
NPL.

[vestibulando123]

Meu caro npl,

Entendi todo seu raciocínio. Compreendi melhor os exercícios em geral!

Estou muito grato pela disposição.

Um abraço!