Sistema de Equações - Ajuda

[Lorang]

Olá a Todos!!

Por favor, me ajudem com o seguinte sistema de equações:

\(x^{2}+y^{2}=\frac{17}{4}\)

x.y = 1

Primeiramente, eu estou isolando o Y na equação da soma =>

=> \(y = \sqrt{\frac{17}{4}-x^{2}}\)

Depois, eu estou substituindo este valor de Y na equação X.Y = 1, ficando da seguinte forma:

\(x . \sqrt{\frac{17}{4}-x^{2}} = 1\)

Igualando o denominador da expressão da raiz quadrada (que é 4), extraindo esta raiz (que é 2), passando este dois para cima multiplicando pelo 1 do outro lado e depois elevando tudo ao quadrado para eliminar raiz da expressão, eu cheguei à seguinte equação do biquadrada:

\(4.x^{4}-17.x^{2}-4=0\)

O problema é que eu acho que não era para dar uma equação biquadrada nesta questão e, então, a partir deste ponto eu não sei mais o que fazer.

A resposta do livro para esta questão é: V = { (1/2 , 2) , (-1/2 , -2) }

Grato pela atenção!!!

[mat123]

Dica:
Chame x² = y
Daí, y²= x⁴

<=> 4x⁴-17x²-4=0
<=> 4y²-17y-4=0

Por Bhaskara deve dar certo.
Como a equação e de grau 4, você encontrará 4 raízes no conjunto solução!

[Lorang]

Olá Mat123

Obrigado pela resposta.

Sim, eu fiz isso (\(x^{2}=y\)) para resolver a equação biquadrada. Mas como eu relatei, a minha dúvida é/era se eu estou/estava no caminho certo.

Por Bhaskara eu encontrei os valores 4 e 1/4 para y.
Assim, se \(x^{2}=y\), então teremos quatro valores para x:
X1= 2
X2=-2
X3=1/2
X4=-1/2

Voltando ao sistema de equações, onde X.Y = 1:

Para X1=2 => Y=1/2
Para X2=-2 => Y=-1/2
Para X3=1/2 => Y=2
Para X4=-1/2 => Y=-2

Então, como a resposta do livro é V={(1/2 , 2) , (-1/2 , 2)}, como eu deveria interpretar estes quatro valores para X que eu encontrei???

Pois pela resposta, para dois valores de X (1/2 e -1/2), há outros dois valores correspondentes para Y (2 e -2). Mas neste caso ficaram quatro valores para X (1/2 , -1/2 , 2 e -2) e quatro valores correspondentes para Y (2 , -2 , 1/2 e -1/2).

É isto que está me deixando confuso.