Sobre espaço vetorial e subespaço.
16 Oct 2013, 14:13
Considere o espaço vetorial \(M_{3X3}\) (matrizes de ordem 3X3), com as operações usuais. Seja D o subconjunto de \(M_{3X3}\) formado por todas as matrizes diagonais de ordem 3X3. Mostrar que D é um subespaço vetorial de \(M_{3X3}\) e determinar uma base para D.
Ps: Deve-se mostrar que o conjunto escolhido realmente forma uma base para D.
Ps: Deve-se mostrar que o conjunto escolhido realmente forma uma base para D.
Editado pela última vez por Daianne em 22 Oct 2013, 11:17, num total de 1 vez.
Re: Sobre espaço vetorial e subespaço. [resolvida]
23 Oct 2013, 21:14
Olá Daianne
Teorema: Seja F < E (F é Sub-espaço Vectorial de E Espaço Vectorial sobre IR). Tem-se que, \(\forall _{x,y\in F}\), e, \(\forall _{\alpha \in \mathbb{R}}\)
1. \(F\neq \phi , F\subseteq E\)
2. \(x+y\in F\)
3. \(\alpha x\in F\)
Sendo D o subconjunto de M3x3 das matrizes diagonais, tem-se que, por exemplo, a matriz nula é uma matriz diagonal, pelo que D é não vazio.
Agora, sejam X,Y matrizes quaisquer de D, e \(\alpha\) n.º real qualquer.
Por def. de D, \(X=\begin{bmatrix} x1 & 0 & 0\\ 0 & x2 & 0\\ 0 & 0 & x3 \end{bmatrix}, Y=\begin{bmatrix} y1 & 0 & 0\\ 0 & y2 & 0\\ 0 & 0 & y3 \end{bmatrix}\), onde x1, x2, x3, y1, y2, y3 são n.ºs reais.
Então, \(X+Y=\begin{bmatrix} x1+y1 & 0 & 0\\ 0 & x2+y2 & 0\\ 0 & 0 & x3+y3 \end{bmatrix}\in D\)
e, \(\alpha X=\begin{bmatrix} \alpha x1 & 0 & 0\\ 0 & \alpha x2 & 0\\ 0 & 0 & \alpha x3 \end{bmatrix}\in D\). Assim, pode afirmar-se que D < M3x3.
Para se determinar uma base de D, pode tomar-se uma matriz genérica de D, como a matriz X acima exemplificada, e desdobra-se em 3 vectores (matrizes).
Tem-se, \(X=\begin{bmatrix} x1 & 0 & 0\\ 0 & x2 & 0\\ 0 & 0 & x3 \end{bmatrix}=x1\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}+x2\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}+x3\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\),
em que o conjunto destas 3 matrizes forma uma base de D, porque se X for a matriz nula, então necessariamente x1=x2=x3=0, i.e., uma combinação linear nula dos vectores da base implica os coeficientes todos simultaneamente nulos (vectores linearmente independentes), e uma vez que qualquer matriz de D pode ser escrita como combinação linear daquelas, então D é o espaço gerado pelo aquele conjunto de matrizes. c.q.d.
Espero que tenha ajudado, bom estudo
Teorema: Seja F < E (F é Sub-espaço Vectorial de E Espaço Vectorial sobre IR). Tem-se que, \(\forall _{x,y\in F}\), e, \(\forall _{\alpha \in \mathbb{R}}\)
1. \(F\neq \phi , F\subseteq E\)
2. \(x+y\in F\)
3. \(\alpha x\in F\)
Sendo D o subconjunto de M3x3 das matrizes diagonais, tem-se que, por exemplo, a matriz nula é uma matriz diagonal, pelo que D é não vazio.
Agora, sejam X,Y matrizes quaisquer de D, e \(\alpha\) n.º real qualquer.
Por def. de D, \(X=\begin{bmatrix} x1 & 0 & 0\\ 0 & x2 & 0\\ 0 & 0 & x3 \end{bmatrix}, Y=\begin{bmatrix} y1 & 0 & 0\\ 0 & y2 & 0\\ 0 & 0 & y3 \end{bmatrix}\), onde x1, x2, x3, y1, y2, y3 são n.ºs reais.
Então, \(X+Y=\begin{bmatrix} x1+y1 & 0 & 0\\ 0 & x2+y2 & 0\\ 0 & 0 & x3+y3 \end{bmatrix}\in D\)
e, \(\alpha X=\begin{bmatrix} \alpha x1 & 0 & 0\\ 0 & \alpha x2 & 0\\ 0 & 0 & \alpha x3 \end{bmatrix}\in D\). Assim, pode afirmar-se que D < M3x3.
Para se determinar uma base de D, pode tomar-se uma matriz genérica de D, como a matriz X acima exemplificada, e desdobra-se em 3 vectores (matrizes).
Tem-se, \(X=\begin{bmatrix} x1 & 0 & 0\\ 0 & x2 & 0\\ 0 & 0 & x3 \end{bmatrix}=x1\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}+x2\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}+x3\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\),
em que o conjunto destas 3 matrizes forma uma base de D, porque se X for a matriz nula, então necessariamente x1=x2=x3=0, i.e., uma combinação linear nula dos vectores da base implica os coeficientes todos simultaneamente nulos (vectores linearmente independentes), e uma vez que qualquer matriz de D pode ser escrita como combinação linear daquelas, então D é o espaço gerado pelo aquele conjunto de matrizes. c.q.d.
Espero que tenha ajudado, bom estudo