Algebra números reais - manipulações algebricas

[Phelipeth]

Exercício : Sejam a, b e c números reais tais que \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+ \frac{c}{a+b}= 1\). Determine o valor de \(\frac{a^{2}}{b+c} + \frac{b^{2}}{a+c}+\frac{c^{2}}{a+b}\)

[Davi Constant]

Bom, vamos lá...
Multipliquemos ambos os membros da igualdade por \(\Large (a+b+c)\), daí vem que:

\(\Large \left ( \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b} \right )\cdot(a+b+c)=a+b+c\)

Desenvolvendo o 1º membro obtemos:

\(\Large \frac{a^2+ab+ac}{b+c}+\frac{b^2+ab+bc}{a+c}+\frac{c^2+ac+bc}{a+b}=\frac{a^2}{b+c}+\frac{ab+ac}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{ab+bc}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}+\frac{ac+bc}{a+b}=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}+a+b+c\)

Retornando a igualdade teremos:

\(\Large \frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}+a+b+c=a+b+c\rightarrow \frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}=0.\)

Espero ter ajudado,
qualquer dúvida sinalize,
Davi Constant.

[Phelipeth]

Obrigado Davi.