Bom dia,
Vou ajudar com o primeiro exercício, o segundo deve sair de forma análoga. Vamos lá:
uendell Escreveu:9 divide 4^n + 6n -1 ?
Caso n=1: 4 + 6 - 1 = 9 | 9 (OK).
Hipótese de indução (n=k): \(9 | 4^k + 6k -1\)
Passo indutivo: Vamos analisar a expressão para n = k+1 : \(4^{k+1} + 6{k+1} -1 =\)
\(4 \cdot 4^k + 6\cdot k + 6 - 1 =\)
\(4 \cdot 4^k + (24-18)\cdot k + 9 - 4 =\), aqui \(6 = 24-18\) e \(5 = 9-4\),
\(4 \cdot 4^k + 24k -18k + 9 - 4 =\), aqui distribuimos,
\(4 \cdot \left( 4^k + 6k - 1 \right) -18k + 9 =\), aqui colocamos o 4 em evidência e,
\(4 \cdot \left( 4^k + 6k - 1 \right) + 9 \cdot \left( 1 - 2k)\), aqui colocamos o 9 em evidência.
Observe que na primeira parcela temos um múltiplo de 9, pela hipótese de indução, e a segunda parcela é claramente divisível por 9, isto é
\(9 | 4 \cdot \left( 4^k + 6k - 1 \right) + 9 \cdot \left( 1 - 2k)\)
Portanto, pelo Princípio da Indução Finita, temos que \(9 | 4^n + 6n -1\), qualquer \(n \in N, n \ge 1\).