Dúvida Inequação Modular
12 jan 2014, 15:37
Boa Tarde Galera,
Estou com dúvida de como resolveria esta inequação modular, poderiam me dar uma força?
|6+2x|<|4-x|
Obrigado :D
Estou com dúvida de como resolveria esta inequação modular, poderiam me dar uma força?
|6+2x|<|4-x|
Obrigado :D
Re: Dúvida Inequação Modular [resolvida]
13 jan 2014, 02:05
\(|6+2x|-|4-x|<0\)
Sabemos que pela definição de módulo:
\(|6+2x|= \begin{cases} \\ 6+2x \,\, , \,\, & se & x \geq -3 \\ -6-2x & se & x<-3 \\ \end{cases}\)
\(|4-x|= \begin{cases} \\ 4-x \,\, , \,\, & se & x \leq 4 \\ -4+x & se & x>4 \\ \end{cases}\)
colocando tudo isso no quadro de sinais:
Então teremos três casos:
1° Caso:
\(S_{1}\), com a restrição de \(x<-3\).
\(-x-10<0 \;\; \Rightarrow x>-10\)
Fazendo a interseção da restrição \(x<-3\) com \(x>-10\) obtemos \(S_{1}=\left\{ x \, \epsilon \; \mathbb{R} \left | -10<x<-3 \right \}\).
2º Caso:
\(S_{2}\), com a restrição de \(-3\leq x \leq 4\).
\(3x+2<0 \;\; \Rightarrow x<-\frac{2}{3}\)
Fazendo a interseção da restrição \(-3 \leq x \leq 4\) com \(x<-\frac{2}{3}\) obtemos \(S_{2}=\left\{ x \, \epsilon \; \mathbb{R} \left | -3 \leq x < -\frac{2}{3} \right \}\)
3º Caso:
\(S_{3}\), com a restrição de \(x > 4\).
\(x+10<0 \;\; \Rightarrow x<-10\)
Fazendo a interseção da restrição \(x>4\) com \(x<-10\) obtemos \(S_{3}=\text{ Conjunto vazio}\)
Agora devemos fazer a união de todas as soluções: \(S=S_{1} \cup S_{2} \cup S_{3}=\left\{ x \, \epsilon \; \mathbb{R} \left | -10<x<-\frac{2}{3} \right \}\)
Sabemos que pela definição de módulo:
\(|6+2x|= \begin{cases} \\ 6+2x \,\, , \,\, & se & x \geq -3 \\ -6-2x & se & x<-3 \\ \end{cases}\)
\(|4-x|= \begin{cases} \\ 4-x \,\, , \,\, & se & x \leq 4 \\ -4+x & se & x>4 \\ \end{cases}\)
colocando tudo isso no quadro de sinais:
- Inequação Modular.png (16.02 KiB) Visualizado 870 vezes
Então teremos três casos:
1° Caso:
\(S_{1}\), com a restrição de \(x<-3\).
\(-x-10<0 \;\; \Rightarrow x>-10\)
Fazendo a interseção da restrição \(x<-3\) com \(x>-10\) obtemos \(S_{1}=\left\{ x \, \epsilon \; \mathbb{R} \left | -10<x<-3 \right \}\).
2º Caso:
\(S_{2}\), com a restrição de \(-3\leq x \leq 4\).
\(3x+2<0 \;\; \Rightarrow x<-\frac{2}{3}\)
Fazendo a interseção da restrição \(-3 \leq x \leq 4\) com \(x<-\frac{2}{3}\) obtemos \(S_{2}=\left\{ x \, \epsilon \; \mathbb{R} \left | -3 \leq x < -\frac{2}{3} \right \}\)
3º Caso:
\(S_{3}\), com a restrição de \(x > 4\).
\(x+10<0 \;\; \Rightarrow x<-10\)
Fazendo a interseção da restrição \(x>4\) com \(x<-10\) obtemos \(S_{3}=\text{ Conjunto vazio}\)
Agora devemos fazer a união de todas as soluções: \(S=S_{1} \cup S_{2} \cup S_{3}=\left\{ x \, \epsilon \; \mathbb{R} \left | -10<x<-\frac{2}{3} \right \}\)