Questão 19 do capítulo 1 do Rufino vol 0

[hewertonpaes]

Seja (a,b,c,d) a quádrupla de números inteiros tais que \(52^a.77^b.88^c.91^d=2002\).O valor de \(a+b-c-d\) é igual a:

a resposta é 6

[Rui Carpentier]

Atendendo que \(52=2^2\cdot 13\), \(77=7\cdot 11\), \(88=2^3\cdot 11\), \(91=7\cdot 13\) e \(2002=2\cdot 7\cdot 11 \cdot 13\), temos que

\(52^a\cdot 77^b \cdot 88^c \cdot 91^d=2002 \Leftrightarrow\)
\(2^{2a+3c}\cdot 7^{b+d}\cdot 11^{b+c}\cdot 13^{a+d}=2^1\cdot 7^1 \cdot 11^1 \cdot 13^1\)

Logo, pelo teorema fundamental da aritmética, obtemos o sistema linear:

\(\left{\matrix 2a+3c=1\\b+d=1\\b+c=1\\a+d=1\right.\)

Agora é só resolver.

[Sobolev]

Pode até determinar os valores de todas as constantes. Decompondo em factores primos terá:

\((2^2 \cdot 13)^a (7\cdot 11)^b (2^3\cdot 11)^c (7\cdot 13)^d = 2\cdot 7 \cdot 11 \cdot 13\)

Da unicidade da decomposição em factores primos tem que

\(2a+3c=1, \quad b+d = 1, \quad b+c=1, \quad a+d=1\)

Resolvendo o sistema acima tem a = b = 2, c = d = -1, pelo que efectivamente a+b-c-d = 6.