Para quaisquer 3 conjuntos A,B,C valem:

[marcosyrht]

Para quaisquer 3 conjuntos A,B,C valem:
a) (A \ B) ∩ (A \ C) = A \ (B U C)=

b) (A \ C) ∩ (B \ C) = (A ∩ B) \ C=

[Sobolev]

Uma pergunta por tópico... leia as regras de funcionamento...
Recorde que \(X\setminus Y = X \cap \bar{Y}\) e substitua nas expressões.

\((A\setminus B) \cap (A\setminus C) = (A\cap \bar{B})\cap(A\cap \bar{C}) = A \cap \bar{B} \cap A \cap \bar{C} = A \cap(\bar{A} \cap \bar{C}) =A \cap \bar{A \cup B}=A\setminus (A\cap C)\)

[marcosyrht]

A diferença entre o conjunto A e o conjunto B, ou o complementar de B em A, é o conjunto constituído pelos objectos que pertencem a A e não pertencem a B. Escreve-se A\B para designar o complementar de B em A.

Temos que provar tanto a ida como a volta.

[Sobolev]

Se um elemento está em A é não está em B, estará na interseção de A com o complementar de B, como escrevi no post anterior. Como estabeleci uma sequência de igualdades fica provada a igualdade dos conjuntos, não havendo aqui nenhuma volta a demonstrar.

[marcosyrht]

Agradeço as suas respostas, mas tenho uma dúvida,
A\B e diferente de A ∩ B ?
Dados dois conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {5, 6, 7}
Portanto A \ B = A – B = {0, 1, 2, 3, 4}.
A ∩ B = {5, 6}

[Sobolev]

Parece haver uma confusão com a notação que estou a usar. Quando escrevo \(\bar{B}\) isto significa "complementar de B". Daí que

\(A\setminus B = A \cap \bar{B}\)

Os elementos de A\B são os que estão em A e não em B, portando simultaneamente em A e no complementar de B, ou seja na sua intersecção.